1. **Énoncé du problème :** On considère un pavé droit ABCDEFGH avec I, J, K milieux respectifs des segments [AB], [BC], [DA]. Il faut déterminer quelles propositions parmi A à E sont vraies. 2. **Rappel des propriétés importantes :** - Un pavé droit a des faces rectangulaires et des arêtes parallèles. - Les milieux divisent les segments en deux parties égales. - Une droite est incluse dans un plan si tous ses points sont dans ce plan. - Une droite est parallèle à un plan si elle est parallèle à une droite du plan mais ne le coupe pas. 3. **Analyse de chaque proposition :** **A. La droite (EJ) est strictement parallèle au plan (GIJ)** - Points : E est un sommet supérieur, J milieu de [BC]. - Le plan (GIJ) contient G, I, J. - Vecteur EJ = J - E, vecteurs du plan (GIJ) sont GI et IJ. - Calcul des vecteurs (en coordonnées relatives) : - Soit A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0), E(0,0,1), F(1,0,1), G(1,1,1), H(0,1,1) - I milieu AB = (0.5,0,0), J milieu BC = (1,0.5,0), K milieu DA = (0,0.5,0) - EJ = J - E = (1,0.5,0) - (0,0,1) = (1,0.5,-1) - GI = I - G = (0.5,0,0) - (1,1,1) = (-0.5,-1,-1) - IJ = J - I = (1,0.5,0) - (0.5,0,0) = (0.5,0.5,0) - Vérifions si EJ est parallèle à un vecteur du plan (combinaison linéaire de GI et IJ) : - Résolvons $\lambda GI + \mu IJ = EJ$ soit $$\lambda(-0.5) + \mu(0.5) = 1$$ $$\lambda(-1) + \mu(0.5) = 0.5$$ $$\lambda(-1) + \mu(0) = -1$$ - De la 3e équation : $\lambda(-1) = -1 \Rightarrow \lambda = 1$ - Substituons dans la 1ère : $1*(-0.5) + \mu*0.5 = 1 \Rightarrow -0.5 + 0.5\mu = 1 \Rightarrow 0.5\mu = 1.5 \Rightarrow \mu = 3$ - Vérifions la 2e : $1*(-1) + 3*0.5 = -1 + 1.5 = 0.5$ correct. - Donc EJ est dans le plan (GIJ), donc pas strictement parallèle. - **Proposition A est fausse.** **B. La droite (BH) est incluse dans le plan (BCF)** - Points B(1,0,0), H(0,1,1), plan (BCF) avec C(1,1,0), F(1,0,1). - Vérifions si H est dans le plan (BCF). - Vecteurs BC = C - B = (0,1,0), BF = F - B = (0,0,1) - Le plan (BCF) est défini par B et vecteurs BC, BF. - Exprimons H - B = (0,1,1) - (1,0,0) = (-1,1,1) - Vérifions si H-B est combinaison linéaire de BC et BF : $$\alpha(0,1,0) + \beta(0,0,1) = (-1,1,1)$$ - La composante x est 0 à gauche, -1 à droite, impossible. - Donc H n'est pas dans le plan (BCF), donc BH n'est pas incluse. - **Proposition B est fausse.** **C. La droite (EK) est incluse dans le plan (ADH)** - Points E(0,0,1), K(0,0.5,0), plan (ADH) avec A(0,0,0), D(0,1,0), H(0,1,1). - Vecteurs AD = D - A = (0,1,0), AH = H - A = (0,1,1) - Le plan (ADH) est défini par A et vecteurs AD, AH. - Exprimons EK = K - E = (0,0.5,0) - (0,0,1) = (0,0.5,-1) - Vérifions si E et K sont dans le plan (ADH). - E - A = (0,0,1) est combinaison de AD et AH ? $$\lambda(0,1,0) + \mu(0,1,1) = (0,0,1)$$ - Composante y: $\lambda + \mu = 0$ - Composante z: $0 + \mu = 1 \Rightarrow \mu = 1$ - Donc $\lambda + 1 = 0 \Rightarrow \lambda = -1$ - Donc E est dans le plan. - K - A = (0,0.5,0) - Vérifions si $\alpha(0,1,0) + \beta(0,1,1) = (0,0.5,0)$ - y: $\alpha + \beta = 0.5$ - z: $0 + \beta = 0 \Rightarrow \beta = 0$ - Donc $\alpha = 0.5$ - K est dans le plan. - Donc EK est dans le plan (ADH). - **Proposition C est vraie.** **D. La droite (HI) est incluse dans le plan (EHI)** - Le plan (EHI) contient les points E, H, I. - La droite (HI) est par définition dans ce plan. - **Proposition D est vraie.** **E. La droite (AC) est strictement parallèle au plan (EGJ)** - Points A(0,0,0), C(1,1,0), plan (EGJ) avec E(0,0,1), G(1,1,1), J(1,0.5,0). - Vecteurs EG = G - E = (1,1,0), EJ = J - E = (1,0.5,-1) - Droite AC : vecteur AC = C - A = (1,1,0) - Vérifions si AC est parallèle au plan (EGJ) : - Le plan (EGJ) contient EG et EJ. - AC est parallèle au plan si AC est orthogonal au vecteur normal du plan. - Calcul du vecteur normal $\vec{n} = EG \times EJ$ $$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0.5 & -1 \end{vmatrix} = (1*(-1) - 0*0.5)\vec{i} - (1*(-1) - 0*1)\vec{j} + (1*0.5 - 1*1)\vec{k} = (-1)\vec{i} - (-1)\vec{j} + (-0.5)\vec{k} = (-1,1,-0.5)$$ - Produit scalaire $AC \cdot \vec{n} = (1)(-1) + (1)(1) + (0)(-0.5) = -1 + 1 + 0 = 0$ - Donc AC est orthogonal au vecteur normal, donc AC est parallèle au plan. - Vérifions si AC coupe le plan (EGJ) : - A est en z=0, E est en z=1, plan est au-dessus, AC est dans le plan z=0. - AC ne coupe pas le plan (EGJ), donc AC est strictement parallèle. - **Proposition E est vraie.** 4. **Réponses finales :** - A : Faux - B : Faux - C : Vrai - D : Vrai - E : Vrai