1. **Énoncé du problème e)** Déterminer la perpendiculaire commune entre la diagonale $BD'$ et la diagonale de face $A'C'$ dans un cube d'arête $a$, puis calculer la distance entre ces deux droites. 2. **Formule et règles importantes** La perpendiculaire commune à deux droites gauches est la droite qui est orthogonale aux deux et qui minimise la distance entre elles. La distance entre deux droites gauches est la longueur du segment de cette perpendiculaire commune. 3. **Coordonnées des points dans un repère orthonormé** Posons $A=(0,0,0)$, $B=(a,0,0)$, $C=(a,a,0)$, $D=(0,a,0)$, $A'=(0,0,a)$, $B'=(a,0,a)$, $C'=(a,a,a)$, $D'=(0,a,a)$. 4. **Vecteurs directeurs des droites** - Diagonale $BD'$ : de $B(a,0,0)$ à $D'(0,a,a)$, vecteur directeur $\vec{u} = D' - B = (-a,a,a)$. - Diagonale de face $A'C'$ : de $A'(0,0,a)$ à $C'(a,a,a)$, vecteur directeur $\vec{v} = C' - A' = (a,a,0)$. 5. **Vecteur entre un point de chaque droite** Prenons $\vec{w} = A' - B = (0- a,0-0,a-0) = (-a,0,a)$. 6. **Calcul de la perpendiculaire commune** La distance $d$ entre les droites est donnée par $$d = \frac{|(\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}))|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$$ Calculons $\vec{u} \times \vec{v}$ : $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -a & a & a \\ a & a & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot 0 - a \cdot a) - \mathbf{j}(-a \cdot 0 - a \cdot a) + \mathbf{k}(-a \cdot a - a \cdot a) = (-a^2, a^2, -2a^2)$$ 7. **Norme de $\vec{u} \times \vec{v}$** $$|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{(-a^2)^2 + (a^2)^2 + (-2a^2)^2} = \sqrt{a^4 + a^4 + 4a^4} = \sqrt{6a^4} = a^2 \sqrt{6}$$ 8. **Produit scalaire $\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$** $$\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (-a,0,a) \cdot (-a^2, a^2, -2a^2) = (-a)(-a^2) + 0 \cdot a^2 + a \cdot (-2a^2) = a^3 - 2a^3 = -a^3$$ 9. **Distance entre les droites** $$d = \frac{| -a^3 |}{a^2 \sqrt{6}} = \frac{a^3}{a^2 \sqrt{6}} = \frac{a}{\sqrt{6}}$$ --- 10. **Énoncé du problème f)** Déterminer la perpendiculaire commune entre l'arête $AB$ et la diagonale de face $B'C'$ dans un cube d'arête $a$, puis calculer la distance entre ces deux droites. 11. **Vecteurs directeurs** - Arête $AB$ : $A(0,0,0)$ à $B(a,0,0)$, vecteur directeur $\vec{u} = (a,0,0)$. - Diagonale $B'C'$ : $B'(a,0,a)$ à $C'(a,a,a)$, vecteur directeur $\vec{v} = (0,a,0)$. 12. **Vecteur entre un point de chaque droite** Prenons $\vec{w} = B' - A = (a,0,a) - (0,0,0) = (a,0,a)$. 13. **Calcul de la distance** $$\vec{u} \times \vec{v} = (a,0,0) \times (0,a,0) = (0,0,a^2)$$ $$|\vec{u} \times \vec{v}| = a^2$$ $$\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = (a,0,a) \cdot (0,0,a^2) = a \cdot a^2 = a^3$$ $$d = \frac{|a^3|}{a^2} = a$$ --- 14. **Énoncé du problème 2** Déterminer la perpendiculaire commune à deux arêtes gauches d'un tétraèdre régulier d'arête $a$ et calculer la distance entre ces arêtes. 15. **Coordonnées des sommets du tétraèdre régulier** Posons : $$A = (0,0,0), B = (a,0,0), C = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right), D = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{6}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right)$$ 16. **Choix des arêtes gauches** Prenons les arêtes $AB$ et $CD$. 17. **Vecteurs directeurs** $$\vec{u} = B - A = (a,0,0)$$ $$\vec{v} = D - C = \left(0, -\frac{a \sqrt{3}}{3}, \frac{a \sqrt{6}}{3}\right)$$ 18. **Vecteur entre un point de chaque droite** $$\vec{w} = C - A = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right)$$ 19. **Calcul de la distance** $$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -\frac{a \sqrt{3}}{3} & \frac{a \sqrt{6}}{3} \end{vmatrix} = \left(0, -\frac{a^2 \sqrt{6}}{3}, -\frac{a^2 \sqrt{3}}{3}\right)$$ $$|\vec{u} \times \vec{v}| = a^2 \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{6}}{3}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2} = a^2 \sqrt{\frac{6}{9} + \frac{3}{9}} = a^2 \sqrt{1} = a^2$$ $$\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v}) = \left(\frac{a}{2}, \frac{a \sqrt{3}}{2}, 0\right) \cdot \left(0, -\frac{a^2 \sqrt{6}}{3}, -\frac{a^2 \sqrt{3}}{3}\right) = 0 - \frac{a^3 \sqrt{3} \sqrt{6}}{6} + 0 = -\frac{a^3 \sqrt{18}}{6} = -\frac{a^3 3\sqrt{2}}{6} = -\frac{a^3 \sqrt{2}}{2}$$ 20. **Distance** $$d = \frac{|\vec{w} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|} = \frac{\frac{a^3 \sqrt{2}}{2}}{a^2} = \frac{a \sqrt{2}}{2}$$ --- 21. **Énoncé du problème 3** Construire un cube dont deux arêtes sont portées par deux droites gauches orthogonales données. 22. **Méthode de construction** - Soit deux droites gauches orthogonales données, on peut construire un cube en prenant ces droites comme deux arêtes adjacentes. - La troisième arête sera la perpendiculaire commune aux deux droites, assurant que les trois arêtes sont mutuellement orthogonales. - La longueur de l'arête est la même pour les trois. 23. **Conclusion** On construit le cube en plaçant un sommet commun aux deux droites, puis en utilisant la perpendiculaire commune pour définir la troisième arête, garantissant un cube avec arêtes de même longueur et orthogonales. **Réponses finales :** - e) Distance entre $BD'$ et $A'C'$ : $\boxed{\frac{a}{\sqrt{6}}}$ - f) Distance entre $AB$ et $B'C'$ : $\boxed{a}$ - 2) Distance entre deux arêtes gauches d'un tétraèdre régulier : $\boxed{\frac{a \sqrt{2}}{2}}$ - 3) Construction d'un cube avec deux arêtes portées par deux droites gauches orthogonales données : utiliser la perpendiculaire commune comme troisième arête pour former un cube.