1. **Énoncé du problème :** On considère les points $A(1;1;0)$, $B(2;0;0)$, $C(1;3;-1)$, $E(2;2;2)$ dans un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Le plan $(P)$ a pour équation $x + y + 2z - 2 = 0$. 1.a Vérifier que le plan $(P)$ est déterminé par $A$, $B$ et $C$. 1. Calculer les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $$\overrightarrow{AB} = (2-1, 0-1, 0-0) = (1, -1, 0)$$ $$\overrightarrow{AC} = (1-1, 3-1, -1-0) = (0, 2, -1)$$ 2. Le vecteur normal au plan $(P)$ est donné par les coefficients de l'équation : $$\vec{n} = (1,1,2)$$ 3. Vérifions que $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 1 \times 1 + 1 \times (-1) + 2 \times 0 = 1 - 1 + 0 = 0$$ $$\vec{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times 0 + 1 \times 2 + 2 \times (-1) = 0 + 2 - 2 = 0$$ Comme ces produits scalaires sont nuls, $\vec{n}$ est bien orthogonal au plan formé par $A,B,C$. 4. Vérifions que $A$ appartient à $(P)$ en remplaçant dans l'équation : $$1 + 1 + 2 \times 0 - 2 = 2 - 2 = 0$$ Donc $A \in (P)$. Puisque $\vec{n}$ est normal au plan contenant $A,B,C$ et que $A$ est dans $(P)$, on conclut que $(P)$ est le plan déterminé par $A$, $B$ et $C$. 1.b Montrer que la droite $(AE)$ est perpendiculaire à $(P)$. 1. Le vecteur directeur de la droite $(AE)$ est: $$\overrightarrow{AE} = (2-1, 2-1, 2-0) = (1, 1, 2)$$ 2. On note que $\overrightarrow{AE} = \vec{n}$, le vecteur normal de $(P)$. 3. Puisqu'une droite est perpendiculaire à un plan si et seulement si son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan, on en déduit que $(AE) \perp (P)$. 1.c Calculer l'aire du triangle $ABC$ et le volume du tétraèdre $EABC$. 1. L'aire du triangle $ABC$ est: $$ \text{Aire} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \| $$ Calcul du produit vectoriel: $$ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix} = ( (-1)(-1) - 0\times 2, 0\times 0 - 1\times (-1), 1\times 2 - (-1)\times 0) = (1, 1, 2) $$ 2. Calcul de la norme : $$ \| (1, 1, 2) \| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6} $$ 3. Donc l'aire est: $$ \frac{\sqrt{6}}{2} $$ 4. Le volume du tétraèdre $EABC$ est donné par : $$ V = \frac{1}{6} \left| \det (\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EB}, \overrightarrow{EC}) \right| $$ Calculons les vecteurs : $$ \overrightarrow{EA} = A - E = (1-2, 1-2, 0-2) = (-1, -1, -2) $$ $$ \overrightarrow{EB} = B - E = (2-2, 0-2, 0-2) = (0, -2, -2) $$ $$ \overrightarrow{EC} = C - E = (1-2, 3-2, -1-2) = (-1, 1, -3) $$ Calcul du déterminant : $$ \det \begin{pmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -3 \end{pmatrix} = -1 \times (-2 \times -3 - 1 \times -2) - 0 + (-1) \times (-1 \times -2 - (-2) \times -1) $$ Calcul intermédiaire : $$ -2 \times -3 = 6, \quad 1 \times -2 = -2, \quad -1 \times -2 = 2, \quad -2 \times -1 = 2 $$ Donc : $$ -1 \times (6 - (-2)) - 0 + (-1) \times (2 - 2) = -1 \times 8 + 0 + (-1) \times 0 = -8 $$ Volume donc : $$ V = \frac{1}{6} \times | -8 | = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} $$ --- 2. Soit $L$ le milieu de $[AB]$ et $(Q)$ le plan passant par $L$ et parallèle aux droites $(AE)$ et $(BC)$. 2.a Écrire une équation du plan $(Q)$. 1. Coordonnées du point $L$ : $$ L = \left( \frac{1+2}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+0}{2} \right) = \left( 1.5, 0.5, 0 \right) $$ 2. Les vecteurs directeurs des droites $(AE)$ et $(BC)$ sont : $$ \overrightarrow{AE} = (1,1,2) $$ $$ \overrightarrow{BC} = (1-2, 3-0, -1-0) = (-1, 3, -1) $$ 3. Le plan $(Q)$ passant par $L$ et parallèle à ces deux directions a pour vecteurs directeurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BC}$. 4. Le vecteur normal au plan est orthogonal aux deux vecteurs directeurs, on le trouve par le produit vectoriel : $$ \vec{n_Q} = \overrightarrow{AE} \times \overrightarrow{BC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = (1 \times (-1) - 2 \times 3, 2 \times (-1) - 1 \times (-1), 1 \times 3 - 1 \times (-1)) = (-1-6, -2 +1, 3+1) = (-7, -1, 4) $$ 5. Équation du plan $Q$ passant par $L(1.5,0.5,0)$ : $$ -7(x - 1.5) -1(y - 0.5) + 4(z - 0) = 0 $$ Ou développée : $$ -7x + 10.5 - y + 0.5 + 4z = 0 \Rightarrow -7x - y + 4z + 11 = 0 $$ 2.b Démontrer que les plans $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires. 1. Le vecteur normal de $(P)$ est : $$ \vec{n_P} = (1,1,2) $$ 2. Le vecteur normal de $(Q)$ est : $$ \vec{n_Q} = (-7,-1,4) $$ 3. Deux plans sont perpendiculaires si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux, calcul du produit scalaire : $$ \vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 1 \times (-7) + 1 \times (-1) + 2 \times 4 = -7 - 1 + 8 = 0 $$ 4. Comme le produit scalaire vaut zéro, les plans $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires. 2.c Démontrer que la droite $(d)$, intersection des plans $(P)$ et $(Q)$, est parallèle à $(BC)$. 1. La droite d'intersection entre deux plans a pour vecteur directeur le produit vectoriel des normales : $$ \vec{u_d} = \vec{n_P} \times \vec{n_Q} $$ Calcul du produit vectoriel : $$ \vec{u_d} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ -7 & -1 & 4 \end{vmatrix} = (1 \times 4 - 2 \times (-1), -(1 \times 4 - 2 \times (-7)), 1 \times (-1) - 1 \times (-7)) = (4+2, -(4+14), -1 + 7) = (6, -18, 6) $$ 2. Ce vecteur peut être simplifié en divisant par 6 : $$ (1, -3, 1) $$ 3. Le vecteur directeur de $(BC)$ est: $$ \overrightarrow{BC} = (-1, 3, -1) $$ 4. On remarque que $$ \vec{u_d} = (1, -3, 1) = -1 \times (-1, 3, -1) = -1 \times \overrightarrow{BC} $$ 5. Donc $\vec{u_d}$ est colinéaire à $\overrightarrow{BC}$, d'où la droite $(d)$ est parallèle à $(BC)$. **Réponses finales :** - Le plan $(P)$ est bien le plan déterminé par $A$, $B$, $C$. - La droite $(AE)$ est perpendiculaire au plan $(P)$. - L'aire du triangle $ABC$ est $\frac{\sqrt{6}}{2}$. - Le volume du tétraèdre $EABC$ est $\frac{4}{3}$. - L'équation du plan $(Q)$ est $-7x - y + 4z + 11=0$. - Les plans $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires. - La droite d'intersection $(d)$ des plans $(P)$ et $(Q)$ est parallèle à la droite $(BC)$.