1. **Énoncé du problème :** Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ et les longueurs $AB$ et $AC$. 2. **Formules utilisées :** - Le vecteur $\overrightarrow{AB} = B - A = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A)$. - Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u} = (u_1,u_2,u_3)$ et $\overrightarrow{v} = (v_1,v_2,v_3)$ est $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3.$$ - La longueur d'un vecteur $\overrightarrow{u}$ est $$\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + u_3^2}.$$ 3. **Calcul des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :** $$\overrightarrow{AB} = (1 - (-2), 2 - 0, -1 - 1) = (3, 2, -2)$$ $$\overrightarrow{AC} = (-2 - (-2), 2 - 0, 2 - 1) = (0, 2, 1)$$ 4. **Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :** $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 0 + 2 \times 2 + (-2) \times 1 = 0 + 4 - 2 = 2$$ 5. **Calcul des longueurs $AB$ et $AC$ :** $$AB = \sqrt{3^2 + 2^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4 + 4} = \sqrt{17} \approx 4.123$$ $$AC = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5} \approx 2.236$$ 6. **Conclusion :** - Le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2$. - Les longueurs sont $AB \approx 4.123$ et $AC \approx 2.236$. **Réponse finale :** $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 2, \quad AB = \sqrt{17}, \quad AC = \sqrt{5}.$$