1. **Énoncé du problème :** Calculer le produit scalaire $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ pour les points $A(0,1,1)$, $B(-2,1,-1)$, $M(x,y,z)$. 2. **Formule utilisée :** Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u} = (u_1,u_2,u_3)$ et $\overrightarrow{v} = (v_1,v_2,v_3)$ est donné par $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3$$ 3. **Calcul des vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{BM}$ :** $$\overrightarrow{AM} = (x-0, y-1, z-1) = (x, y-1, z-1)$$ $$\overrightarrow{BM} = (x+2, y-1, z+1)$$ 4. **Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM}$ :** $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = x(x+2) + (y-1)(y-1) + (z-1)(z+1)$$ $$= x^2 + 2x + (y-1)^2 + (z^2 - 1)$$ 5. **Simplification :** $$= x^2 + 2x + y^2 - 2y + 1 + z^2 - 1$$ $$= x^2 + 2x + y^2 - 2y + z^2$$ 6. **Équation donnée :** $$\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 3$$ 7. **Mettre sous forme sphérique :** $$x^2 + 2x + y^2 - 2y + z^2 = 3$$ Complétons les carrés : $$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$$ $$y^2 - 2y = (y-1)^2 - 1$$ 8. **Substitution :** $$(x+1)^2 - 1 + (y-1)^2 - 1 + z^2 = 3$$ $$(x+1)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 3 + 1 + 1 = 5$$ 9. **Conclusion :** L'ensemble des points $M(x,y,z)$ vérifiant $\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{BM} = 3$ est une sphère $(S)$ de centre $$\Omega(-1,1,0)$$ et de rayon $$R = \sqrt{5}$$