1. **Énoncé du problème :** Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, montrer que les points $A$, $B$, $C$ définissent un plan, puis étudier le vecteur normal $\overrightarrow{n}$ au plan $(ABC)$. 2. **Calcul des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :** Les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ sont données par la différence des coordonnées de $B$ et $A$ : $$\overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-2 - 1, 1 - (-1), 8 - 1) = (-3, 2, 7)$$ De même, pour $\overrightarrow{AC}$ : $$\overrightarrow{AC} = (7 - 1, 3 - (-1), 3 - 1) = (6, 4, 2)$$ 3. **Montrer que $A$, $B$, $C$ définissent un plan :** Les points sont coplanaires si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Calculons le déterminant vectoriel $\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}$ : $$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (2)(2) - (7)(4) \\ (7)(6) - (-3)(2) \\ (-3)(4) - (2)(6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 - 28 \\ 42 + 6 \\ -12 - 12 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -24 \\ 48 \\ -24 \end{pmatrix}$$ Ce vecteur n'est pas nul, donc $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires, donc $A$, $B$, $C$ définissent un plan. 4. **Vecteur normal $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \end{pmatrix}$ au plan $(ABC)$ :** Un vecteur normal est orthogonal à $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, donc : $$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \Rightarrow -3a + 2b + 7c = 0$$ $$\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 \Rightarrow 6a + 4b + 2c = 0$$ 5. **Montrer que le système est équivalent à :** $$\begin{cases} a = c \\ b = -2c \end{cases}$$ Partons du système : $$\begin{cases} -3a + 2b + 7c = 0 \\ 6a + 4b + 2c = 0 \end{cases}$$ Multiplions la première équation par 2 : $$-6a + 4b + 14c = 0$$ Soustrayons la deuxième équation : $$(-6a + 4b + 14c) - (6a + 4b + 2c) = 0 - 0 \Rightarrow -12a + 0b + 12c = 0$$ Simplifions : $$-12a + 12c = 0 \Rightarrow -12a = -12c \Rightarrow a = c$$ Remplaçons $a = c$ dans la première équation : $$-3c + 2b + 7c = 0 \Rightarrow 2b + 4c = 0 \Rightarrow 2b = -4c \Rightarrow b = -2c$$ 6. **Trois vecteurs normaux au plan $(ABC)$ :** En choisissant différentes valeurs de $c$ : - Pour $c=1$, $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ - Pour $c=2$, $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}$ - Pour $c=-1$, $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ 7. **Expression générale des vecteurs normaux :** $$\overrightarrow{n} = c \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}$$ avec $c \in \mathbb{R}$. **Réponse finale :** $$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Les points $A$, $B$, $C$ définissent un plan car $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Le vecteur normal $\overrightarrow{n}$ vérifie : $$\begin{cases} -3a + 2b + 7c = 0 \\ 6a + 4b + 2c = 0 \end{cases}$$ qui est équivalent à : $$\begin{cases} a = c \\ b = -2c \end{cases}$$ Trois vecteurs normaux sont : $$\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$$ L'expression générale est : $$\overrightarrow{n} = c \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, c \in \mathbb{R}$$