1. **Énoncé du problème :** Calculer le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}(1 ; 5)$ et $\overrightarrow{v}(4 ; -2)$. 2. **Formule du produit scalaire :** Le produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{a}(x_1 ; y_1)$ et $\overrightarrow{b}(x_2 ; y_2)$ est donné par : $$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = x_1 \times x_2 + y_1 \times y_2$$ 3. **Calcul du produit scalaire :** $$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = 1 \times 4 + 5 \times (-2)$$ $$= 4 - 10$$ $$= -6$$ 4. **Conclusion :** Le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est $-6$. --- 1. **Énoncé du problème :** Montrer que le triangle $ABC$ avec $A(1 ; 2)$, $B(4 ; 6)$, $C(6 ; 3)$ est rectangle en $A$. 2. **Rappel important :** Un triangle est rectangle en un point si les vecteurs formant les côtés à partir de ce point sont orthogonaux, c'est-à-dire que leur produit scalaire est nul. 3. **Calcul des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :** $$\overrightarrow{AB} = (4 - 1 ; 6 - 2) = (3 ; 4)$$ $$\overrightarrow{AC} = (6 - 1 ; 3 - 2) = (5 ; 1)$$ 4. **Calcul du produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ :** $$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 3 \times 5 + 4 \times 1$$ $$= 15 + 4$$ $$= 19$$ 5. **Conclusion :** Le produit scalaire n'est pas nul, donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas orthogonaux. 6. **Vérification avec les autres côtés :** Calculons $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{BC}$ : $$\overrightarrow{BA} = (1 - 4 ; 2 - 6) = (-3 ; -4)$$ $$\overrightarrow{BC} = (6 - 4 ; 3 - 6) = (2 ; -3)$$ Produit scalaire : $$\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = (-3) \times 2 + (-4) \times (-3)$$ $$= -6 + 12$$ $$= 6$$ Pas nul, donc pas orthogonal. 7. **Calculons $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{CB}$ :** $$\overrightarrow{CA} = (1 - 6 ; 2 - 3) = (-5 ; -1)$$ $$\overrightarrow{CB} = (4 - 6 ; 6 - 3) = (-2 ; 3)$$ Produit scalaire : $$\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = (-5) \times (-2) + (-1) \times 3$$ $$= 10 - 3$$ $$= 7$$ 8. **Erreur détectée :** Le produit scalaire n'est pas nul pour aucun couple de côtés, ce qui semble contredire l'énoncé. 9. **Recalculons précisément $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ :** $$\overrightarrow{AB} = (4 - 1 ; 6 - 2) = (3 ; 4)$$ $$\overrightarrow{AC} = (6 - 1 ; 3 - 2) = (5 ; 1)$$ Produit scalaire : $$3 \times 5 + 4 \times 1 = 15 + 4 = 19$$ 10. **Vérifions $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ :** $$\overrightarrow{BC} = (6 - 4 ; 3 - 6) = (2 ; -3)$$ Produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$ : $$3 \times 2 + 4 \times (-3) = 6 - 12 = -6$$ 11. **Vérifions $\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BC}$ :** Produit scalaire $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BC}$ : $$5 \times 2 + 1 \times (-3) = 10 - 3 = 7$$ 12. **Vérification des vecteurs à partir de A :** Le produit scalaire $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ n'est pas nul, donc le triangle n'est pas rectangle en A. 13. **Vérification de l'orthogonalité en B :** Produit scalaire $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}$ : $$(-3) \times 2 + (-4) \times (-3) = -6 + 12 = 6$$ Pas nul. 14. **Vérification de l'orthogonalité en C :** Produit scalaire $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}$ : $$(-5) \times (-2) + (-1) \times 3 = 10 - 3 = 7$$ Pas nul. 15. **Conclusion finale :** Le triangle $ABC$ n'est pas rectangle en $A$ selon le calcul du produit scalaire. **Note :** Il est possible que l'énoncé contienne une erreur ou que la question demande de vérifier l'orthogonalité en un autre point.