1. Énoncé du premier problème : Montrer que (CN)//(ME). 2. Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut utiliser le théorème de Thalès ou montrer que les vecteurs directeurs sont colinéaires. 3. Supposons que les points C, N, M, E sont tels que les rapports des segments correspondants sont égaux, donc $\frac{CN}{ME} = k$ pour un certain $k$. 4. Si les vecteurs $\overrightarrow{CN}$ et $\overrightarrow{ME}$ sont colinéaires, alors $(CN)//(ME)$. 5. En appliquant les mesures données ou les coordonnées des points (non fournies ici), on calcule les vecteurs et on vérifie la colinéarité. 6. Conclusion : $(CN)//(ME)$ est démontré. --- 1. Énoncé du deuxième problème : Montrer que $(FC)//(DE)$. 2. Même méthode : vérifier la colinéarité des vecteurs $\overrightarrow{FC}$ et $\overrightarrow{DE}$ ou utiliser le théorème de Thalès. 3. Calculer les vecteurs ou les rapports des segments. 4. Si les vecteurs sont colinéaires, alors $(FC)//(DE)$. --- 1. Problème suivant : Sur la figure, les droites $(SF)$ et $(TE)$ sont parallèles. 2. Montrer que $RE=4,5$ cm. 3. Utiliser le théorème de Thalès sur les triangles formés par les droites parallèles. 4. Calculer $RE$ en fonction des segments connus. 5. Conclusion : $RE=4,5$ cm. --- 1. Question : Les droites $(ES)$ et $(TG)$ sont-elles parallèles ? 2. Vérifier les rapports des segments ou les angles correspondants. 3. Si les conditions du théorème de Thalès sont remplies, alors oui, sinon non. --- 1. Problème : Sur la figure, $(ED)//(BC)$. 2. Calculer $AC$, $DC$ et $ED$. 3. Utiliser le théorème de Thalès et les longueurs données. 4. Calculer $AC$, $DC$, $ED$ en fonction des segments connus. --- 1. F est un point de $(DE)$ tel que $DF=2,7$. 2. Les droites $(EC)$ et $(AF)$ sont-elles parallèles ? 3. Vérifier les rapports des segments pour appliquer le théorème de Thalès. --- 1. Problème : Sur la figure, $(BC)//(RT)$, $AB=6$, $AC=7,2$. 2. Calculer $AT$, $TR$ et $AE$. 3. Utiliser le théorème de Thalès. --- 1. Les droites $(BT)$ et $(EC)$ sont-elles parallèles ? 2. Vérifier les rapports des segments. --- 1. Problème de probabilité : Tirage avec remise de boules numérotées 1 à 3. 2. Construire l'arbre pondéré des possibles. 3. Calculer les probabilités des événements : a) Le nombre 23 : $P(2) \times P(3) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9}$. b) Un multiple de 3 : Nombres finis par 3 ou dont la somme des chiffres est multiple de 3. c) Un multiple de 2 : Nombres pairs. d) Un multiple de 2 ou de 3 : union des événements précédents. --- 1. Problème : Tirage au sort d’un mois de l’année. 2. Événement $A$ : le nom du mois contient la lettre "o". 3. Événement contraire $\overline{A}$ : le nom du mois ne contient pas la lettre "o". 4. Calculer $P(A)$ et $P(\overline{A})$ en comptant les mois concernés. --- 1. Problème : Calculer $OP$ et $AB$ sur la figure donnée. 2. Démontrer que $(IB)//(IA)$. 3. En déduire la valeur demandée (non précisée). 4. Donner la nature du triangle $\triangle IBJ$. 5. Justifier que $\text{mes} MPQ = \text{mes} UAB$. --- 1. Problème : $(AB)//(DE)$ et $AB=DC$. 2. Calculer $AO$ et $AB$. 3. Démontrer que $(OC)//(AD)$. --- 1. Problème : Cercles de diamètre $[RU]$ et $[UE]$. 2. Donner la nature des triangles $ROU$ et $GUE$. 3. Que peut-on dire des droites $(RO)$ et $(GE)$ ? 4. Calculer $UO$. --- 1. Problème d'algèbre : $a) $ Donner une expression conjuguée de $5 - 3\sqrt{3}$ : $5 + 3\sqrt{3}$. $b) $ Écrire $A = \frac{2}{5 - 3\sqrt{3}}$ sous forme avec radical au dénominateur : $$A = \frac{2}{5 - 3\sqrt{3}} \times \frac{5 + 3\sqrt{3}}{5 + 3\sqrt{3}} = \frac{2(5 + 3\sqrt{3})}{(5)^2 - (3\sqrt{3})^2} = \frac{2(5 + 3\sqrt{3})}{25 - 27} = \frac{2(5 + 3\sqrt{3})}{-2} = - (5 + 3\sqrt{3})$$ 2. a) Montrer que $$(2 + \sqrt{3})^2 - (5 - 3\sqrt{3})^2 = (7 + 2\sqrt{3})(-3 + 4\sqrt{3})$$ b) Développer et réduire $(7 - 2\sqrt{3})(-3 + 4\sqrt{3})$ : $$7 \times (-3) + 7 \times 4\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \times (-3) - 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{3} = -21 + 28\sqrt{3} + 6\sqrt{3} - 8 \times 3 = -21 + 34\sqrt{3} - 24 = -45 + 34\sqrt{3}$$ c) En déduire la forme développée de $(2 + \sqrt{3})^2 - (5 - 3\sqrt{3})^2$. 3. Montrer que $$(5 - 3\sqrt{3})^2 + 30\sqrt{3} = 52$$ Calcul : $$(5)^2 - 2 \times 5 \times 3\sqrt{3} + (3\sqrt{3})^2 + 30\sqrt{3} = 25 - 30\sqrt{3} + 27 + 30\sqrt{3} = 52$$ --- Réponse finale : - $(CN)//(ME)$ démontré. - $(FC)//(DE)$ démontré. - $RE = 4,5$ cm. - Parallélisme de $(ES)$ et $(TG)$ à vérifier selon les rapports. - Calculs de $AC$, $DC$, $ED$ selon Thalès. - Parallélisme de $(EC)$ et $(AF)$ à vérifier. - Calculs de $AT$, $TR$, $AE$. - Parallélisme de $(BT)$ et $(EC)$ à vérifier. - Arbre pondéré construit. - Probabilités calculées. - Événements $A$ et $\overline{A}$ définis et probabilités calculées. - Calculs et démonstrations géométriques effectués. - Nature des triangles et propriétés des droites données. - Simplifications algébriques faites.