1. Énoncé du problème : On donne un parallélogramme ABCD de centre O et deux points P et Q tels que $$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB}$$ $$\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AC}$$ 2. Méthode et règle : On résout ce système vectoriel par addition et soustraction des équations ; l'addition permet d'éliminer $\overrightarrow{AQ}$ et la soustraction permet d'éliminer $\overrightarrow{AP}$. 3. Addition des deux équations : $$\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ} + \bigl(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ}\bigr) = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$ Simplification donne : $$2\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$$ Division par 2 (montrer l'annulation) : $$\frac{\cancel{2}\overrightarrow{AP}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$$ D'où : $$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2}$$ 4. Soustraction des deux équations : $$\bigl(\overrightarrow{AP} + \overrightarrow{AQ}\bigr) - \bigl(\overrightarrow{AP} - \overrightarrow{AQ}\bigr) = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$$ Simplification donne : $$2\overrightarrow{AQ} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$$ Division par 2 (montrer l'annulation) : $$\frac{\cancel{2}\overrightarrow{AQ}}{2} = \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}{2}$$ D'où : $$\overrightarrow{AQ} = \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}{2}$$ 5. Interprétation simple : Si l'on place A à l'origine et si les vecteurs de position de B et C sont respectivement $\vec b$ et $\vec c$, alors P a pour coordonnées $\dfrac{\vec b + \vec c}{2}$, c'est-à-dire le milieu du segment BC. De même Q a pour coordonnées $\dfrac{\vec b - \vec c}{2}$, ce qui donne sa position relative à B et C. 6. Réponse finale : $$\overrightarrow{AP} = \frac{\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}}{2},\qquad \overrightarrow{AQ} = \frac{\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}}{2}$$