1. Planteamiento del problema: Tenemos varios vectores dados y debemos realizar operaciones con ellos, graficarlos, calcular sus coordenadas y módulos, y analizar afirmaciones sobre vectores. 2. Vectores dados: \(\vec{a} = (4, 5), \vec{b} = (1, 5), \vec{c} = (3, -4), \vec{d} = (-2, 2), \vec{e} = (7, 13), \vec{f} = (6, -4), \vec{g} = (-8, -4), \vec{h} = (-15, 10)\). 3. Operaciones para el ítem b: - \(2\vec{b} = 2 \times (1, 5) = (2, 10)\) - \(-\vec{c} = -1 \times (3, -4) = (-3, 4)\) - \(\frac{1}{2}\vec{d} = \frac{1}{2} \times (-2, 2) = (-1, 1)\) - \(-3\vec{e} = -3 \times (7, 13) = (-21, -39)\) - \(\vec{a} + 2\vec{b} = (4, 5) + (2, 10) = (6, 15)\) pero el problema indica \((1, 5)\), por lo que hay un error o se pide verificar. 4. Verificación de \(\vec{a} + 2\vec{b} = (1, 5)\): \[ \vec{a} + 2\vec{b} = (4, 5) + (2, 10) = (6, 15) \neq (1, 5) \] Por lo tanto, la afirmación es falsa o hay un error en el enunciado. 5. Cálculo del módulo de un vector \(\vec{v} = (x, y)\): \[ |\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2} \] Aplicamos a cada vector: - \(|\vec{a}| = \sqrt{4^2 + 5^2} = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}\) - \(|2\vec{b}| = |(2, 10)| = \sqrt{2^2 + 10^2} = \sqrt{4 + 100} = \sqrt{104}\) - \(|-\vec{c}| = |(-3, 4)| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) - \(|\frac{1}{2}\vec{d}| = |(-1, 1)| = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}\) - \(|-3\vec{e}| = |(-21, -39)| = \sqrt{441 + 1521} = \sqrt{1962}\) 6. Análisis de afirmaciones: a. Vectores paralelos si uno es múltiplo escalar del otro. \[ \vec{a} = (2, -3), \vec{b} = (-6, 9) = -3 \times (2, -3) \] Verdadero. b. Vectores equipolentes tienen mismas coordenadas. \[ (2, -3) \neq (-6, 9) \] Falso. c. Vector de P a Q es \(\vec{v} = Q - P = (7-5, 12-8) = (2, 4)\), no \((7, 12)\). Falso. d. Vector de Q a P es \(P - Q = (5-7, 8-12) = (-2, -4)\), que es equipolente a \(-\vec{v} = (-2, -4)\). Verdadero. e. Dos vectores equipolentes tienen las mismas coordenadas. Verdadero. 7. Encontrar \(y\) tal que \(|\vec{v}| = 13\) con \(\vec{v} = (5, y)\): \[ |\vec{v}| = \sqrt{5^2 + y^2} = 13 \] \[ \sqrt{25 + y^2} = 13 \] Elevamos al cuadrado: \[ 25 + y^2 = 169 \] \[ y^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ y = \pm 12 \] Respuesta final: \(y = 12\) o \(y = -12\).