1. **Problema 4:** Calcula los ángulos del triángulo con vértices A(-3, 2), B(3, 5) y C(-2, 0), y comprueba si es un triángulo rectángulo. 2. Para calcular los ángulos, primero calculamos los vectores de los lados: $$\vec{AB} = (3 - (-3), 5 - 2) = (6, 3)$$ $$\vec{BC} = (-2 - 3, 0 - 5) = (-5, -5)$$ $$\vec{CA} = (-3 - (-2), 2 - 0) = (-1, 2)$$ 3. Calculamos las longitudes de los lados: $$|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$ $$|\vec{BC}| = \sqrt{(-5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$$ $$|\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$$ 4. Calculamos los ángulos usando la fórmula del coseno entre dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: $$\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$$ 5. Ángulo en A entre $\vec{AB}$ y $\vec{AC} = -\vec{CA}$: $$\vec{AB} \cdot (-\vec{CA}) = (6)(1) + (3)(-2) = 6 - 6 = 0$$ $$|\vec{AB}| = 3\sqrt{5}, \quad |-\vec{CA}| = |\vec{CA}| = \sqrt{5}$$ $$\cos(\angle A) = \frac{0}{3\sqrt{5} \times \sqrt{5}} = 0 \implies \angle A = 90^\circ$$ 6. Ángulo en B entre $-\vec{AB}$ y $\vec{BC}$: $$-\vec{AB} = (-6, -3)$$ $$-\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-6)(-5) + (-3)(-5) = 30 + 15 = 45$$ $$|-\vec{AB}| = 3\sqrt{5}, \quad |\vec{BC}| = 5\sqrt{2}$$ $$\cos(\angle B) = \frac{45}{3\sqrt{5} \times 5\sqrt{2}} = \frac{45}{15\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}} = \frac{3\sqrt{10}}{10}$$ $$\angle B = \cos^{-1}\left(\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) \approx 18.43^\circ$$ 7. Ángulo en C entre $-\vec{BC}$ y $\vec{CA}$: $$-\vec{BC} = (5, 5)$$ $$-\vec{BC} \cdot \vec{CA} = (5)(-1) + (5)(2) = -5 + 10 = 5$$ $$|-\vec{BC}| = 5\sqrt{2}, \quad |\vec{CA}| = \sqrt{5}$$ $$\cos(\angle C) = \frac{5}{5\sqrt{2} \times \sqrt{5}} = \frac{5}{5\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$ $$\angle C = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) \approx 71.57^\circ$$ 8. Comprobamos que la suma de los ángulos es $90^\circ + 18.43^\circ + 71.57^\circ = 180^\circ$, confirmando que es un triángulo. 9. Como $\angle A = 90^\circ$, el triángulo es rectángulo en A. --- 10. **Problema 5a:** Encuentra todos los vectores paralelos a $\vec{u} = (-9, 12)$ con módulo 5. 11. Un vector paralelo a $\vec{u}$ es $\vec{v} = k \vec{u} = ( -9k, 12k )$. 12. El módulo de $\vec{v}$ es: $$|\vec{v}| = |k| |\vec{u}| = 5$$ 13. Calculamos $|\vec{u}|$: $$|\vec{u}| = \sqrt{(-9)^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$$ 14. Entonces: $$|k| \times 15 = 5 \implies |k| = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$$ 15. Por lo tanto, los vectores paralelos con módulo 5 son: $$\vec{v} = \pm \frac{1}{3} (-9, 12) = (-3, 4) \text{ y } (3, -4)$$ --- 16. **Problema 5b:** Encuentra todos los vectores perpendiculares a $\vec{v} = (10, -24)$ con módulo 13. 17. Un vector $\vec{w} = (x, y)$ es perpendicular a $\vec{v}$ si: $$\vec{v} \cdot \vec{w} = 10x - 24y = 0$$ 18. De aquí: $$10x = 24y \implies y = \frac{10}{24} x = \frac{5}{12} x$$ 19. El módulo de $\vec{w}$ es: $$|\vec{w}| = \sqrt{x^2 + y^2} = 13$$ 20. Sustituyendo $y$: $$\sqrt{x^2 + \left(\frac{5}{12} x\right)^2} = 13$$ $$\sqrt{x^2 + \frac{25}{144} x^2} = 13$$ $$\sqrt{\frac{144}{144} x^2 + \frac{25}{144} x^2} = 13$$ $$\sqrt{\frac{169}{144} x^2} = 13$$ $$\frac{13}{12} |x| = 13 \implies |x| = 12$$ 21. Entonces: $$x = \pm 12, \quad y = \frac{5}{12} x = \pm 5$$ 22. Los vectores perpendiculares con módulo 13 son: $$\vec{w} = (12, 5) \text{ y } (-12, -5)$$