1. Planteamos el problema: Tenemos un jardín rectangular de 50 m de largo y 34 m de ancho, rodeado por un camino de anchura uniforme $x$ metros. 2. El área del camino es 540 m². Queremos encontrar $x$. 3. El área total del jardín más el camino es el área del rectángulo formado por $(50 + 2x)$ de largo y $(34 + 2x)$ de ancho. 4. La fórmula para el área total es: $$A_{total} = (50 + 2x)(34 + 2x)$$ 5. El área del camino es el área total menos el área del jardín: $$A_{camino} = A_{total} - A_{jardín} = (50 + 2x)(34 + 2x) - (50)(34)$$ 6. Sabemos que $A_{camino} = 540$, entonces: $$540 = (50 + 2x)(34 + 2x) - 1700$$ 7. Expandimos el producto: $$540 = 50 \times 34 + 100x + 68x + 4x^2 - 1700$$ $$540 = 1700 + 168x + 4x^2 - 1700$$ 8. Simplificamos: $$540 = 168x + 4x^2$$ 9. Reorganizamos la ecuación para igualar a cero: $$4x^2 + 168x - 540 = 0$$ 10. Simplificamos dividiendo toda la ecuación por 4: $$\cancel{4}x^2 + \cancel{168}x - \cancel{540} = 0 \Rightarrow x^2 + 42x - 135 = 0$$ 11. Resolvemos la ecuación cuadrática usando la fórmula: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ Donde $a=1$, $b=42$, $c=-135$. 12. Calculamos el discriminante: $$\Delta = 42^2 - 4 \times 1 \times (-135) = 1764 + 540 = 2304$$ 13. Calculamos las raíces: $$x = \frac{-42 \pm \sqrt{2304}}{2} = \frac{-42 \pm 48}{2}$$ 14. Dos soluciones: - $$x_1 = \frac{-42 + 48}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ - $$x_2 = \frac{-42 - 48}{2} = \frac{-90}{2} = -45$$ 15. La anchura no puede ser negativa, por lo que: $$\boxed{x = 3 \text{ metros}}$$