1. **Planteamiento del problema:** En el círculo, se nos dan los ángulos en los puntos D y B como 40° cada uno, y el ángulo en C es $30\theta$. Debemos encontrar el valor de $\theta$. 2. **Fórmula y reglas importantes:** En un círculo, la suma de los ángulos inscritos que interceptan el mismo arco es igual. Además, la suma de los ángulos alrededor de un punto es 360°. 3. **Análisis:** Los ángulos en B y D son iguales (40°), y el ángulo en C es $30\theta$. Suponiendo que estos ángulos están relacionados en el círculo, podemos usar la propiedad de que la suma de los ángulos inscritos en un círculo que interceptan el mismo arco es 180°. 4. **Ecuación:** Sumamos los ángulos dados: $$40° + 40° + 30\theta = 180°$$ 5. **Resolución:** $$80° + 30\theta = 180°$$ $$30\theta = 180° - 80°$$ $$30\theta = 100°$$ $$\theta = \frac{100°}{30} = \frac{10}{3} \approx 3.33°$$ 6. **Revisión:** Ninguna opción coincide con 3.33°, por lo que revisamos si el ángulo en C es $30\theta$ o $30\times \theta$ grados. Si el ángulo es $30\theta$ grados, entonces: Si el ángulo en C es $30\theta$, y sumamos los ángulos en el triángulo formado por B, C y D: $$40° + 40° + 30\theta = 180°$$ Como antes, $30\theta = 100°$, entonces $\theta = \frac{100}{30} = 3.33°$. Pero las opciones dadas son 20°, 12°, 15°, 18°. Probablemente el ángulo en C es $30 \times \theta$ grados, y el valor correcto es $\theta = 15°$ para que $30 \times 15° = 450°$ no tiene sentido. 7. **Conclusión:** La opción que más se ajusta es $\theta = 12°$ (opción b), ya que $30 \times 12° = 360°$, que es un ángulo completo, lo que puede indicar un error en la interpretación del problema. **Respuesta final:** $\boxed{12°}$ (opción b).