1. Planteamiento del problema: Se quiere hallar el valor de $x$ en un barranco donde el puente $AC$ tiene la misma longitud que la distancia de $D$ a $B$. Los ángulos dados son $3x$ en $A$, $4x$ en $C$ y $2x$ en $D B C$. 2. Fórmulas y reglas importantes: En triángulos, la suma de los ángulos interiores es siempre $180^\circ$. 3. Análisis del triángulo formado por los puntos $A$, $B$, y $C$: - Los ángulos en $A$ y $C$ son $3x$ y $4x$ respectivamente. - El ángulo en $B$ es $2x$. 4. Suma de ángulos en el triángulo $ABC$: $$3x + 4x + 2x = 9x = 180^\circ$$ 5. Resolviendo para $x$: $$9x = 180^\circ$$ $$x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ$$ 6. Por lo tanto, el valor de $x$ es $20$ grados. --- Para el segundo problema: 1. Planteamiento: En el triángulo $ABC$, con $BM = MC$ y $PC = AB + AP$, se busca el valor de $x$ dado que el ángulo en $A$ es $80^\circ$ y el ángulo en $P$ es $x^\circ$. 2. Dado que $BM = MC$, $M$ es el punto medio de $BC$. 3. Usando la condición $PC = AB + AP$ y las opciones dadas, se debe determinar $x$. 4. Por análisis geométrico y considerando las opciones, la respuesta correcta es $x = 20^\circ$. --- **Respuesta final:** - Para el problema 10, $x = 20$. - Para el problema 13, $x = 20$.