1. Planteamos el problema: Tenemos un trapecio isósceles ABCD con $ \overline{BC} \parallel \overline{AD} $ y un triángulo equilátero PCD dentro del trapecio. Debemos calcular el valor de $ x $, que es el ángulo en el vértice B adyacente a $ \overline{BC} $.\n\n2. Recordemos que en un trapecio isósceles los lados no paralelos son iguales y los ángulos adyacentes a cada base son iguales. Además, en un triángulo equilátero todos los lados y ángulos son iguales, cada ángulo mide $ 60^\circ $.\n\n3. Dado que PCD es equilátero, $ \angle PCD = 60^\circ $. Como $ \overline{BC} \parallel \overline{AD} $, los ángulos alternos internos son iguales, por lo que el ángulo en B es igual al ángulo en C adyacente a $ \overline{BC} $.\n\n4. En el trapecio isósceles, los ángulos en B y C son iguales, y sumados con los ángulos en A y D suman $ 360^\circ $. Además, los ángulos en A y D son iguales.\n\n5. El triángulo equilátero PCD tiene ángulos de $ 60^\circ $, por lo que el ángulo en D es $ 60^\circ $. Por ser trapecio isósceles, el ángulo en A también es $ 60^\circ $.\n\n6. Entonces, sumamos los ángulos del trapecio: $ \angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ $. Como $ \angle A = \angle D = 60^\circ $ y $ \angle B = \angle C = x $, tenemos:\n$$ 60 + x + x + 60 = 360 $$\n$$ 2x + 120 = 360 $$\n7. Restamos 120 de ambos lados:\n$$ 2x + \cancel{120} - \cancel{120} = 360 - 120 $$\n$$ 2x = 240 $$\n8. Dividimos ambos lados entre 2:\n$$ \frac{\cancel{2}x}{\cancel{2}} = \frac{240}{2} $$\n$$ x = 120 $$\n\nRespuesta final: \n\nEl valor de $ x $ es $ 120^\circ $.