1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un triángulo ACB con \(\overline{AB} \parallel \overline{CD}\), \(\angle CBA = 45^\circ\) y \(\angle CAB = 50^\circ\). Se pide hallar los ángulos \(x\) y \(y\) en el vértice C. 2. **Datos y propiedades importantes:** - \(\overline{AB} \parallel \overline{CD}\) implica que los ángulos alternos internos con la transversal son iguales. - La suma de los ángulos internos de un triángulo es \(180^\circ\). 3. **Calcular \(\angle ACB\) en el triángulo ACB:** \[ \angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle CBA = 180^\circ - 50^\circ - 45^\circ = 85^\circ \] 4. **Relación entre \(x\), \(y\) y \(\angle ACB\):** En el vértice C, el ángulo \(\angle ACB = 85^\circ\) está formado por los ángulos \(x\) y \(y\) y el ángulo entre \(\overline{CD}\) y \(\overline{CB}\). 5. **Ángulos alternos internos por paralelismo:** Como \(\overline{AB} \parallel \overline{CD}\), el ángulo \(\angle CBA = 45^\circ\) es igual al ángulo entre \(\overline{CB}\) y \(\overline{CD}\), que llamaremos \(z\): \[ z = 45^\circ \] 6. **Sumar los ángulos en C:** \[ x + y + z = 180^\circ \quad \Rightarrow \quad x + y + 45^\circ = 180^\circ \] \[ x + y = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \] 7. **Usar la suma de \(x + y\) y \(x + y + z\) para hallar \(x\) y \(y\):** Sabemos que \(x + y = 135^\circ\) y que \(x + y + z = 180^\circ\) con \(z = 45^\circ\). 8. **Relación con \(\angle ACB\):** El ángulo \(\angle ACB = 85^\circ\) es la suma de \(x + y\) menos el ángulo \(z\) (porque \(z\) está fuera del triángulo), pero para este problema, \(x + y = 135^\circ\) es la suma de los ángulos en C incluyendo \(z\). 9. **Conclusión:** El ángulo \(x\) es el ángulo entre \(\overline{AC}\) y la línea que sube desde C (el rayo que forma \(y\)), y \(y\) es el ángulo entre esa línea y \(\overline{CB}\). Dado que \(x + y = 135^\circ\) y \(\angle ACB = 85^\circ\), entonces: \[ x = 85^\circ, \quad y = 50^\circ \] **Respuesta final:** \[ x = 85^\circ, \quad y = 50^\circ \]