1. Problema 1: Hallar $x$ en función de $\alpha$ y $\beta$ para los rayos $OA$, $OB$, y $OC$. 2. Sabemos que los ángulos alrededor del punto $O$ suman $360^\circ$ o $2\pi$ radianes. 3. Los ángulos dados son $\beta$ entre $OA$ y $OB$, y $\alpha$ entre $OB$ y $OC$. El ángulo entre $OA$ y $OC$ es entonces $\alpha + \beta$. 4. Si $x$ es el ángulo entre $OA$ y $OC$, entonces $$x = \alpha + \beta$$ --- 1. Problema 2: Hallar $x$ dados los ángulos verticales $3x + 30^\circ$ y $30^\circ - 6x$. 2. Ángulos verticales son iguales, por lo que $$3x + 30 = 30 - 6x$$ 3. Sumamos $6x$ a ambos lados: $$3x + 6x + 30 = 30$$ $$9x + 30 = 30$$ 4. Restamos 30 a ambos lados: $$9x = 0$$ 5. Dividimos entre 9: $$x = \frac{\cancel{9}x}{\cancel{9}} = 0$$ 6. Comprobación: $$3(0) + 30 = 30$$ $$30 - 6(0) = 30$$ Ambos ángulos son iguales, $30^\circ$. --- 1. Problema 3: Hallar $a + b$ dado que $\frac{\pi}{6}$ rad = $a^\circ b'$. 2. Convertimos radianes a grados: $$a^\circ = \frac{\pi}{6} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 30^\circ$$ 3. Como $a^\circ b'$ representa grados y minutos, y $30^\circ$ es entero, entonces $$a = 30, \quad b = 0$$ 4. Por lo tanto, $$a + b = 30 + 0 = 30$$ --- 1. Problema 4: Calcular $\frac{\pi}{2}$ rad + $\frac{600}{2}$ rad + 600. 2. Primero simplificamos: $$\frac{600}{2} = 300$$ 3. Sumamos los radianes: $$\frac{\pi}{2} + 300 + 600 = \frac{\pi}{2} + 900$$ 4. Si se requiere convertir a grados, convertimos $\frac{\pi}{2}$ rad: $$\frac{\pi}{2} \times \frac{180^\circ}{\pi} = 90^\circ$$ 5. Entonces la suma en grados es: $$90 + 900 = 990^\circ$$ --- 1. Problema 5: Resolver $\frac{x}{2} = 100^3$. 2. Calculamos $100^3$: $$100^3 = 100 \times 100 \times 100 = 1,000,000$$ 3. Multiplicamos ambos lados por 2: $$x = 2 \times 1,000,000 = 2,000,000$$ --- **Respuestas finales:** - Problema 1: $x = \alpha + \beta$ - Problema 2: $x = 0$ - Problema 3: $a + b = 30$ - Problema 4: $\frac{\pi}{2} + 900$ rad o $990^\circ$ - Problema 5: $x = 2,000,000$