1. Planteamos el problema: Tenemos un círculo con radio $r$ y área $A$. Si aumentamos el radio en 3 cm, el área se duplica. 2. Fórmula del área del círculo: $$A = \pi r^2$$ 3. Si aumentamos el radio en 3 cm, el nuevo radio es $r+3$ y el área nueva es $$A_{nuevo} = \pi (r+3)^2$$ 4. Según el problema, el área nueva es el doble del área original: $$\pi (r+3)^2 = 2 \pi r^2$$ 5. Simplificamos dividiendo ambos lados por $\pi$: $$\cancel{\pi} (r+3)^2 = 2 \cancel{\pi} r^2 \Rightarrow (r+3)^2 = 2 r^2$$ 6. Expandimos el cuadrado: $$r^2 + 6r + 9 = 2 r^2$$ 7. Pasamos todos los términos a un lado para formar una ecuación cuadrática: $$r^2 + 6r + 9 - 2 r^2 = 0 \Rightarrow -r^2 + 6r + 9 = 0$$ 8. Multiplicamos por $-1$ para simplificar: $$r^2 - 6r - 9 = 0$$ 9. Usamos la fórmula cuadrática para resolver $r$: $$r = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 36}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{72}}{2}$$ 10. Simplificamos la raíz: $$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}$$ 11. Entonces: $$r = \frac{6 \pm 6 \sqrt{2}}{2} = 3 \pm 3 \sqrt{2}$$ 12. Como el radio debe ser positivo, tomamos la solución positiva: $$r = 3 + 3 \sqrt{2}$$ 13. Finalmente, calculamos el área original: $$A = \pi r^2 = \pi (3 + 3 \sqrt{2})^2$$ 14. Expandimos el cuadrado: $$(3 + 3 \sqrt{2})^2 = 9 + 18 \sqrt{2} + 18 = 27 + 18 \sqrt{2}$$ 15. Por lo tanto, el área es: $$A = \pi (27 + 18 \sqrt{2})$$ Respuesta final: El área original del círculo es $$A = \pi (27 + 18 \sqrt{2})$$ centímetros cuadrados.