1. **Planteamiento del problema:** Se tiene un triángulo ABC con lados AB = 7 cm, AC = 5 cm y un ángulo BAC tal que $0^\circ < \angle BAC < 90^\circ$ y $\sin(\angle BAC) = \frac{4}{5}$. Se pide: a) Hallar el área del triángulo. b) Hallar $\cos(\angle BAC)$. c) Hallar la longitud del lado BC. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Área de un triángulo: $$A = \frac{1}{2}ab\sin(C)$$ donde $a$ y $b$ son dos lados y $C$ es el ángulo entre ellos. - Identidad trigonométrica fundamental: $$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$ - Ley del coseno para hallar un lado: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos(C)$$ 3. **Cálculo del área (a):** $$A = \frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \frac{4}{5}$$ Simplificamos: $$A = \frac{1}{2} \times 7 \times \cancel{5} \times \frac{4}{\cancel{5}} = \frac{1}{2} \times 7 \times 4 = 14$$ 4. **Cálculo de $\cos(\angle BAC)$ (b):** Usamos la identidad trigonométrica: $$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$ $$\left(\frac{4}{5}\right)^2 + \cos^2(\angle BAC) = 1$$ $$\frac{16}{25} + \cos^2(\angle BAC) = 1$$ $$\cos^2(\angle BAC) = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ $$\cos(\angle BAC) = \pm \frac{3}{5}$$ Como $0^\circ < \angle BAC < 90^\circ$, el coseno es positivo: $$\cos(\angle BAC) = \frac{3}{5}$$ 5. **Cálculo de BC (c):** Aplicamos la ley del coseno: $$BC^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \times 7 \times 5 \times \frac{3}{5}$$ $$BC^2 = 49 + 25 - 2 \times 7 \times \cancel{5} \times \frac{3}{\cancel{5}} = 74 - 42 = 32$$ $$BC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \approx 5.66$$ **Respuesta final:** a) Área $= 14$ cm$^2$ b) $\cos(\angle BAC) = \frac{3}{5}$ c) $BC \approx 5.66$ cm