1. **Planteamiento del problema:** Determinar el área de la región comprendida superiormente por la parábola $$y=\frac{1}{5}x^2 + 1$$ e interiormente por la circunferencia $$x^2 + y^2 = 9$$, limitada por sus puntos de intersección. 2. **Encontrar los puntos de intersección:** Sustituimos $$y$$ de la parábola en la ecuación de la circunferencia: $$x^2 + \left(\frac{1}{5}x^2 + 1\right)^2 = 9$$ Expandimos el cuadrado: $$x^2 + \left(\frac{1}{25}x^4 + \frac{2}{5}x^2 + 1\right) = 9$$ Sumamos términos semejantes: $$x^2 + \frac{1}{25}x^4 + \frac{2}{5}x^2 + 1 = 9$$ Agrupamos términos: $$\frac{1}{25}x^4 + \left(x^2 + \frac{2}{5}x^2\right) + 1 = 9$$ Simplificamos coeficientes: $$\frac{1}{25}x^4 + \frac{7}{5}x^2 + 1 = 9$$ Restamos 9 a ambos lados: $$\frac{1}{25}x^4 + \frac{7}{5}x^2 + 1 - 9 = 0$$ $$\frac{1}{25}x^4 + \frac{7}{5}x^2 - 8 = 0$$ Multiplicamos toda la ecuación por 25 para eliminar fracciones: $$x^4 + 35x^2 - 200 = 0$$ 3. **Sustitución para resolver:** Sea $$z = x^2$$, entonces: $$z^2 + 35z - 200 = 0$$ 4. **Resolver la ecuación cuadrática:** Usamos la fórmula cuadrática: $$z = \frac{-35 \pm \sqrt{35^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200)}}{2} = \frac{-35 \pm \sqrt{1225 + 800}}{2} = \frac{-35 \pm \sqrt{2025}}{2}$$ $$\sqrt{2025} = 45$$ Por lo tanto: $$z_1 = \frac{-35 + 45}{2} = \frac{10}{2} = 5$$ $$z_2 = \frac{-35 - 45}{2} = \frac{-80}{2} = -40$$ (descartamos porque $$z = x^2 \geq 0$$) 5. **Encontrar los valores de $$x$$:** $$x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5}$$ 6. **Encontrar los valores de $$y$$ en los puntos de intersección:** Usamos la parábola: $$y = \frac{1}{5}x^2 + 1 = \frac{1}{5} \cdot 5 + 1 = 1 + 1 = 2$$ Los puntos de intersección son: $$(\sqrt{5}, 2)$$ y $$(-\sqrt{5}, 2)$$ 7. **Determinar el área entre la circunferencia y la parábola:** El área buscada es la integral del límite superior menos el límite inferior entre $$-\sqrt{5}$$ y $$\sqrt{5}$$: $$\text{Área} = \int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \left( y_{círculo} - y_{parábola} \right) dx$$ 8. **Expresar $$y$$ del círculo en función de $$x$$ (parte superior):** De $$x^2 + y^2 = 9$$: $$y = \sqrt{9 - x^2}$$ 9. **Integral a calcular:** $$\int_{-\sqrt{5}}^{\sqrt{5}} \left( \sqrt{9 - x^2} - \left( \frac{1}{5}x^2 + 1 \right) \right) dx$$ 10. **Usar simetría:** La función es par, entonces: $$2 \int_0^{\sqrt{5}} \left( \sqrt{9 - x^2} - \frac{1}{5}x^2 - 1 \right) dx$$ 11. **Calcular cada integral por separado:** - Integral $$I_1 = \int_0^{\sqrt{5}} \sqrt{9 - x^2} dx$$ Usamos fórmula para área de segmento circular: $$I_1 = \frac{x}{2} \sqrt{9 - x^2} + \frac{9}{2} \arcsin\left( \frac{x}{3} \right) \Bigg|_0^{\sqrt{5}}$$ Evaluamos en $$x=\sqrt{5}$$: $$\frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{9 - 5} + \frac{9}{2} \arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 2 + \frac{9}{2} \arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = \sqrt{5} + \frac{9}{2} \arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right)$$ En $$x=0$$ es 0. - Integral $$I_2 = \int_0^{\sqrt{5}} \frac{1}{5}x^2 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_0^{\sqrt{5}} = \frac{1}{15} (\sqrt{5})^3 = \frac{1}{15} \cdot 5 \sqrt{5} = \frac{5 \sqrt{5}}{15} = \frac{\sqrt{5}}{3}$$ - Integral $$I_3 = \int_0^{\sqrt{5}} 1 dx = \sqrt{5}$$ 12. **Sumamos y restamos las integrales:** $$\text{Área} = 2 \left( I_1 - I_2 - I_3 \right) = 2 \left( \sqrt{5} + \frac{9}{2} \arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) - \frac{\sqrt{5}}{3} - \sqrt{5} \right)$$ Simplificamos términos: $$\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0$$ Queda: $$2 \left( \frac{9}{2} \arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) - \frac{\sqrt{5}}{3} \right) = 9 \arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) - \frac{2 \sqrt{5}}{3}$$ 13. **Respuesta final:** $$\boxed{\text{Área} = 9 \arcsin\left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) - \frac{2 \sqrt{5}}{3}}$$