1. Planteamiento del problema: Se nos pide calcular el área y el perímetro de la figura formada por la unión de dos lotes contiguos representados por un polígono con vértices en los puntos $(0,0)$, $(0,30)$, $(15,30)$, $(30,25)$ y $(30,0)$. 2. Fórmulas importantes: - Área de un polígono dado por coordenadas: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) + (x_n y_1 - y_n x_1) \right|$$ - Perímetro: suma de las distancias entre vértices consecutivos. 3. Cálculo del área usando la fórmula del polígono: - Vértices en orden: $(0,0)$, $(0,30)$, $(15,30)$, $(30,25)$, $(30,0)$ - Calculamos $$\sum (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1})$$: $$0 \cdot 30 - 0 \cdot 0 = 0$$ $$0 \cdot 30 - 30 \cdot 15 = -450$$ $$15 \cdot 25 - 30 \cdot 30 = 375 - 900 = -525$$ $$30 \cdot 0 - 25 \cdot 30 = 0 - 750 = -750$$ $$30 \cdot 0 - 0 \cdot 0 = 0$$ - Suma total: $$0 - 450 - 525 - 750 + 0 = -1725$$ - Área: $$\frac{1}{2} | -1725 | = \frac{1725}{2} = 862.5$$ unidades cuadradas. 4. Cálculo del perímetro sumando distancias entre vértices: - Distancia entre $(0,0)$ y $(0,30)$: $$\sqrt{(0-0)^2 + (30-0)^2} = 30$$ - Distancia entre $(0,30)$ y $(15,30)$: $$\sqrt{(15-0)^2 + (30-30)^2} = 15$$ - Distancia entre $(15,30)$ y $(30,25)$: $$\sqrt{(30-15)^2 + (25-30)^2} = \sqrt{15^2 + (-5)^2} = \sqrt{225 + 25} = \sqrt{250} = 5\sqrt{10}$$ - Distancia entre $(30,25)$ y $(30,0)$: $$\sqrt{(30-30)^2 + (0-25)^2} = 25$$ - Distancia entre $(30,0)$ y $(0,0)$: $$\sqrt{(0-30)^2 + (0-0)^2} = 30$$ - Perímetro total: $$30 + 15 + 5\sqrt{10} + 25 + 30 = 100 + 5\sqrt{10}$$ unidades. 5. Respuesta final: - Área: $$862.5$$ unidades cuadradas. - Perímetro: $$100 + 5\sqrt{10}$$ unidades. 6. Para la segunda pregunta: - $Q^c$ es el complemento de los números racionales, es decir, los números irracionales. - $Z^- \cap Q^+$ es la intersección de los enteros negativos con los racionales positivos, que es el conjunto vacío $\emptyset$. - $Z^- \cup \{0\} \cup Z^+$ es el conjunto de todos los enteros, es decir, $Z$.