1. **Planteamiento del problema:** Calcular el área y perímetro de la región grisácea que está dentro de un semicírculo grande de diámetro $14$ cm (suma de $4$ cm y $10$ cm) y fuera de dos semicírculos más pequeños con diámetros $4$ cm y $10$ cm. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** El área de un círculo es $$A=\pi r^2$$ El perímetro de un semicírculo es $$P=\pi r + 2r$$ (arco semicircular más diámetro) 3. **Cálculo del área:** - Radio del semicírculo grande: $$R=\frac{14}{2}=7\text{ cm}$$ - Área del semicírculo grande: $$A_{grande}=\frac{1}{2}\pi R^2=\frac{1}{2}\pi 7^2=\frac{49\pi}{2}$$ - Radio del semicírculo pequeño izquierdo: $$r_1=\frac{4}{2}=2\text{ cm}$$ - Área del semicírculo pequeño izquierdo: $$A_1=\frac{1}{2}\pi 2^2=2\pi$$ - Radio del semicírculo pequeño derecho: $$r_2=\frac{10}{2}=5\text{ cm}$$ - Área del semicírculo pequeño derecho: $$A_2=\frac{1}{2}\pi 5^2=\frac{25\pi}{2}$$ - Área de la región grisácea (semicírculo grande menos los dos pequeños): $$A= A_{grande} - A_1 - A_2 = \frac{49\pi}{2} - 2\pi - \frac{25\pi}{2} = \frac{49\pi - 25\pi}{2} - 2\pi = \frac{24\pi}{2} - 2\pi = 12\pi - 2\pi = 10\pi$$ - Aproximando con $\pi \approx 3.1416$: $$A \approx 10 \times 3.1416 = 31.42\text{ cm}^2$$ 4. **Cálculo del perímetro:** - Perímetro del semicírculo grande (solo el arco, ya que el diámetro es frontera común y no parte del perímetro de la región grisácea): $$P_{grande} = \pi R = \pi \times 7 = 7\pi$$ - Perímetros de los semicírculos pequeños (solo los arcos interiores que forman la frontera): $$P_1 = \pi r_1 = \pi \times 2 = 2\pi$$ $$P_2 = \pi r_2 = \pi \times 5 = 5\pi$$ - Perímetro total de la frontera grisácea es la suma de los arcos: $$P = P_{grande} + P_1 + P_2 = 7\pi + 2\pi + 5\pi = 14\pi$$ - Aproximando: $$P \approx 14 \times 3.1416 = 43.98\text{ cm}$$ **Respuesta final:** Área de la región grisácea: **31.42 cm²** Perímetro de la frontera de la región grisácea: **43.98 cm**