1. **Planteamiento del problema:** Se tiene una entrada a una mina formada por una semicircunferencia de radio $r=4$ metros y una puerta pentagonal inscrita en ella. La puerta tiene 5 lados iguales, altura central de 3 metros y ángulos superiores de $120^\circ$. Se pide calcular el área sombreada, que es el área de la semicircunferencia menos el área de la puerta. 2. **Datos y fórmulas:** - Área semicircunferencia: $$A_{semi} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi 4^2 = 8\pi$$ - La puerta es un pentágono con lados iguales y ángulos superiores de $120^\circ$. 3. **Análisis de la puerta:** - La puerta tiene 5 lados iguales, por lo que es un pentágono equilateral pero no regular (los ángulos no son todos iguales). - La altura central es 3 m, que es la distancia desde la base (línea horizontal) hasta el vértice superior central. 4. **Construcción geométrica y cálculo del lado:** - Sea $s$ la longitud de cada lado. - La puerta tiene 5 lados iguales y los ángulos en las esquinas superiores son $120^\circ$. - La puerta está inscrita en la semicircunferencia de radio 4 m, por lo que sus vértices están sobre la curva o la base. 5. **Cálculo del lado $s$ usando la altura y ángulos:** - La puerta tiene simetría vertical. - Dividimos la puerta en triángulos para usar trigonometría. - Los ángulos superiores de $120^\circ$ implican que los ángulos adyacentes son $30^\circ$ (porque los lados iguales forman ángulos de $120^\circ$ y los triángulos formados tienen ángulos complementarios). 6. **Cálculo del lado $s$ usando la altura:** - La altura central de 3 m corresponde a la distancia desde la base hasta el vértice superior central. - Consideramos el triángulo isósceles formado por el lado central y dos lados adyacentes. - Usamos la fórmula de altura en triángulo isósceles: $$h = s \sin(60^\circ)$$ - Pero la altura es 3, entonces $$3 = s \sin(60^\circ) = s \times \frac{\sqrt{3}}{2}$$ - Despejamos $$s = \frac{3}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}$$ 7. **Cálculo del área de la puerta:** - La puerta es un pentágono con lados $s=2\sqrt{3}$. - Podemos dividir la puerta en 3 triángulos: dos triángulos con ángulo $120^\circ$ y uno central. - Área de cada triángulo con lados iguales $s$ y ángulo $120^\circ$: $$A_{tri} = \frac{1}{2} s^2 \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} (2\sqrt{3})^2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$$ - Área total de los dos triángulos superiores: $$2 \times 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$$ - Área del triángulo central (base $s$, altura 3): $$A_{central} = \frac{1}{2} \times s \times 3 = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{3} \times 3 = 3\sqrt{3}$$ - Área total puerta: $$A_{puerta} = 6\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}$$ 8. **Cálculo del área sombreada:** - $$A_{sombreada} = A_{semi} - A_{puerta} = 8\pi - 9\sqrt{3}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{A_{sombreada} = 8\pi - 9\sqrt{3} \text{ metros cuadrados}}$$