1. **Planteamiento del problema:** Calcular el área de la región sombreada que corresponde a un cuarto de círculo de radio $R$ adyacente a un triángulo rectángulo con catetos $2R$ y $R$. 2. **Datos y fórmulas:** - Área del triángulo rectángulo: $A_{\triangle} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$. - Área del cuarto de círculo: $A_{\text{cuarto círculo}} = \frac{1}{4} \pi R^2$. 3. **Cálculo del área del triángulo:** $$ A_{\triangle} = \frac{1}{2} \times 2R \times R = \frac{1}{2} \times 2R^2 = R^2 $$ 4. **Cálculo del área del cuarto de círculo:** $$ A_{\text{cuarto círculo}} = \frac{1}{4} \pi R^2 $$ 5. **Área de la región sombreada:** La región sombreada es solo el cuarto de círculo, ya que está adyacente al triángulo y delimitada por su hipotenusa. Por lo tanto, el área buscada es: $$ \boxed{A = \frac{1}{4} \pi R^2} $$