1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un triángulo ABC con puntos P y Q dentro de él. Se sabe que $BP = PC$ y $QC = 3QA$. Se pide calcular el área del triángulo $\triangle QPC$ y el área del cuadrilátero $ABPQ$. 2. **Análisis y fórmulas:** - Dado que $BP = PC$, el punto P es el punto medio del segmento $BC$. - La relación $QC = 3QA$ indica que Q divide el segmento $AC$ en la razón 1:3. 3. **Ubicación de los puntos:** - Sea $A = (0,0)$, $B = (0,b)$ y $C = (c,0)$ para simplificar el cálculo. - Entonces, $P$ es el punto medio de $BC$, por lo que: $$P = \left(\frac{0+c}{2}, \frac{b+0}{2}\right) = \left(\frac{c}{2}, \frac{b}{2}\right)$$ - El punto $Q$ divide $AC$ en la razón $1:3$, por lo que: $$Q = \left(\frac{3\cdot 0 + 1\cdot c}{1+3}, \frac{3\cdot 0 + 1\cdot 0}{1+3}\right) = \left(\frac{c}{4}, 0\right)$$ 4. **Cálculo del área de $\triangle QPC$:** - Los vértices son: - $Q = \left(\frac{c}{4}, 0\right)$ - $P = \left(\frac{c}{2}, \frac{b}{2}\right)$ - $C = (c,0)$ - Usamos la fórmula del área de un triángulo con coordenadas: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|$$ - Sustituyendo: $$\text{Área}_{QPC} = \frac{1}{2} \left| \frac{c}{4} \left(\frac{b}{2} - 0\right) + \frac{c}{2} (0 - 0) + c (0 - \frac{b}{2}) \right|$$ $$= \frac{1}{2} \left| \frac{c b}{8} + 0 - \frac{c b}{2} \right| = \frac{1}{2} \left| -\frac{3 c b}{8} \right| = \frac{3 c b}{16}$$ 5. **Cálculo del área total del triángulo $ABC$:** - Usando la base $BC$ y altura $b$: $$\text{Área}_{ABC} = \frac{1}{2} \times c \times b = \frac{c b}{2}$$ 6. **Cálculo del área del cuadrilátero $ABPQ$:** - El área de $ABPQ$ es el área total menos el área de $\triangle QPC$: $$\text{Área}_{ABPQ} = \text{Área}_{ABC} - \text{Área}_{QPC} = \frac{c b}{2} - \frac{3 c b}{16} = \frac{8 c b}{16} - \frac{3 c b}{16} = \frac{5 c b}{16}$$ 7. **Relaciones de áreas:** - Área $\triangle QPC$ respecto a $\triangle ABC$: $$\frac{\text{Área}_{QPC}}{\text{Área}_{ABC}} = \frac{\frac{3 c b}{16}}{\frac{c b}{2}} = \frac{3}{16} \times \frac{2}{1} = \frac{3}{8}$$ - Área $ABPQ$ respecto a $\triangle ABC$: $$\frac{\text{Área}_{ABPQ}}{\text{Área}_{ABC}} = \frac{\frac{5 c b}{16}}{\frac{c b}{2}} = \frac{5}{16} \times \frac{2}{1} = \frac{5}{8}$$ 8. **Conclusión:** - El área de $\triangle QPC$ es $\frac{3}{8}$ del área total. - El área de $ABPQ$ es $\frac{5}{8}$ del área total. Ninguna de las opciones dadas coincide exactamente con $\frac{3}{8}$ o $\frac{5}{8}$, pero la opción más cercana para $\triangle QPC$ es $\frac{3}{4}$ (A), que es mayor. Por lo tanto, el área de $\triangle QPC$ es $\boxed{\frac{3}{8}}$ y el área de $ABPQ$ es $\boxed{\frac{5}{8}}$ del área total del triángulo $ABC$.