1. Planteamos el problema: Tenemos un triángulo ABC y conocemos los puntos medios de sus lados: M(0,1,3), N(3,-2,2) y P(1,0,2). Debemos encontrar el área del triángulo ABC. 2. Recordemos que los puntos medios M, N y P forman el triángulo medial, que es similar al triángulo ABC y su área es la cuarta parte del área de ABC. 3. Primero, calculamos los vectores que forman el triángulo medial MNP: $$\overrightarrow{MN} = N - M = (3-0, -2-1, 2-3) = (3, -3, -1)$$ $$\overrightarrow{MP} = P - M = (1-0, 0-1, 2-3) = (1, -1, -1)$$ 4. El área del triángulo MNP es: $$\text{Área}_{MNP} = \frac{1}{2} \left| \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} \right|$$ 5. Calculamos el producto cruz: $$\overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & -3 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(-1) - (-1)(-1)) - \mathbf{j}(3(-1) - (-1)(1)) + \mathbf{k}(3(-1) - (-3)(1))$$ $$= \mathbf{i}(3 - 1) - \mathbf{j}(-3 + 1) + \mathbf{k}(-3 + 3) = 2\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k} = (2, 2, 0)$$ 6. Magnitud del vector cruz: $$\left| \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} \right| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ 7. Área del triángulo medial: $$\text{Área}_{MNP} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} = \sqrt{2}$$ 8. Finalmente, el área del triángulo ABC es cuatro veces el área del triángulo medial: $$\text{Área}_{ABC} = 4 \times \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$$ Respuesta: $4\sqrt{2}$