1. **Planteamiento del problema:** Calcular el área superficial y el volumen de dos troncos de cono dados. 2. **Fórmulas importantes:** - Área lateral de un tronco de cono: $$A_L = \pi (R + r) s$$ donde $R$ y $r$ son los radios de las bases mayor y menor, y $s$ es la generatriz. - Área total: $$A_T = A_L + \pi R^2 + \pi r^2$$ - Volumen: $$V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$$ donde $h$ es la altura vertical. 3. **Datos del problema:** - Caso a: - Radio mayor $R = 9/2 = 4.5$ cm - Radio menor $r = 4/2 = 2$ cm - Generatriz $s = 7$ cm - Altura $h$ desconocida - Caso b: - Radio mayor $R = 10/2 = 5$ dm - Radio menor $r = 1$ dm - Generatriz $s = 6$ dm - Altura $h$ desconocida 4. **Calcular la altura $h$ usando el teorema de Pitágoras en el triángulo formado por $h$, $s$ y la diferencia de radios:** $$h = \sqrt{s^2 - (R - r)^2}$$ - Caso a: $$h = \sqrt{7^2 - (4.5 - 2)^2} = \sqrt{49 - 2.5^2} = \sqrt{49 - 6.25} = \sqrt{42.75} \approx 6.54\text{ cm}$$ - Caso b: $$h = \sqrt{6^2 - (5 - 1)^2} = \sqrt{36 - 4^2} = \sqrt{36 - 16} = \sqrt{20} \approx 4.47\text{ dm}$$ 5. **Calcular área lateral $A_L$:** - Caso a: $$A_L = \pi (4.5 + 2) \times 7 = \pi \times 6.5 \times 7 = 45.5\pi \approx 142.8\text{ cm}^2$$ - Caso b: $$A_L = \pi (5 + 1) \times 6 = \pi \times 6 \times 6 = 36\pi \approx 113.1\text{ dm}^2$$ 6. **Calcular área total $A_T$:** - Caso a: $$A_T = 45.5\pi + \pi (4.5^2 + 2^2) = 45.5\pi + \pi (20.25 + 4) = 45.5\pi + 24.25\pi = 69.75\pi \approx 219.1\text{ cm}^2$$ - Caso b: $$A_T = 36\pi + \pi (5^2 + 1^2) = 36\pi + \pi (25 + 1) = 36\pi + 26\pi = 62\pi \approx 194.8\text{ dm}^2$$ 7. **Calcular volumen $V$:** - Caso a: $$V = \frac{1}{3} \pi \times 6.54 (4.5^2 + 4.5 \times 2 + 2^2) = \frac{1}{3} \pi \times 6.54 (20.25 + 9 + 4) = \frac{1}{3} \pi \times 6.54 \times 33.25 = 72.5\pi \approx 227.8\text{ cm}^3$$ - Caso b: $$V = \frac{1}{3} \pi \times 4.47 (5^2 + 5 \times 1 + 1^2) = \frac{1}{3} \pi \times 4.47 (25 + 5 + 1) = \frac{1}{3} \pi \times 4.47 \times 31 = 46.2\pi \approx 145.1\text{ dm}^3$$ **Respuesta final:** - Caso a: - Área total $\approx 219.1$ cm$^2$ - Volumen $\approx 227.8$ cm$^3$ - Caso b: - Área total $\approx 194.8$ dm$^2$ - Volumen $\approx 145.1$ dm$^3$