1. **Planteamiento del problema:** Se tienen tres figuras geométricas: un hexágono, un pentágono y un triángulo. Se conoce que el lado del hexágono es $K=120$. Se pide encontrar el área de cada figura usando las siguientes medidas: - Apotema del pentágono: $\frac{K}{2} + 10$ - Radio del triángulo: $\frac{K}{3} + 5$ 2. **Fórmulas y reglas importantes:** - Área del hexágono regular: $$A = \frac{3\sqrt{3}}{2} K^2$$ donde $K$ es el lado. - Área del pentágono regular: $$A = \frac{5}{2} K a$$ donde $a$ es la apotema y $K$ el lado. - Área del triángulo equilátero: $$A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2$$ donde $s$ es el lado. Para el triángulo, el "radio" se interpreta como el radio de la circunferencia circunscrita, que para un triángulo equilátero es $$R = \frac{s}{\sqrt{3}}$$, por lo que $$s = R \sqrt{3}$$. 3. **Cálculo del área del hexágono:** $$K = 120$$ $$A_{hex} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 120^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 14400$$ 4. **Cálculo del área del pentágono:** Apotema: $$a = \frac{K}{2} + 10 = \frac{120}{2} + 10 = 60 + 10 = 70$$ Área: $$A_{pent} = \frac{5}{2} \times 120 \times 70 = \frac{5}{2} \times 8400$$ 5. **Cálculo del área del triángulo:** Radio: $$R = \frac{K}{3} + 5 = \frac{120}{3} + 5 = 40 + 5 = 45$$ Lado: $$s = R \sqrt{3} = 45 \sqrt{3}$$ Área: $$A_{tri} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (45 \sqrt{3})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 45^2 \times 3$$ 6. **Simplificación y resultados:** Hexágono: $$A_{hex} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times 14400 = 3 \times 7200 \sqrt{3} = 21600 \sqrt{3}$$ Pentágono: $$A_{pent} = \frac{5}{2} \times 8400 = 5 \times 4200 = 21000$$ Triángulo: $$A_{tri} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 45^2 \times 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2025 \times 3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 6075$$ $$= 1518.75 \sqrt{3}$$ **Respuesta final:** - Área hexágono: $$21600 \sqrt{3} \approx 37412.31$$ - Área pentágono: $$21000$$ - Área triángulo: $$1518.75 \sqrt{3} \approx 2630.99$$