1. Planteamos el problema: Tenemos un triángulo rectángulo formado por 30 cerillos de 2 cm cada uno, y queremos mover el mínimo número de cerillos para que el área sea 108 cm². 2. Primero, definamos variables para los catetos del triángulo rectángulo: $a$ y $b$ (en cm). 3. El perímetro en cerillos es 30, cada cerillo mide 2 cm, entonces la suma de los lados es: $$a + b + c = 30 \times 2 = 60 \text{ cm}$$ 4. Por el teorema de Pitágoras, el lado $c$ (hipotenusa) es: $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ 5. Entonces, la ecuación del perímetro es: $$a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 60$$ 6. El área del triángulo es: $$A = \frac{1}{2} a b$$ Queremos que $A = 108$ cm², entonces: $$\frac{1}{2} a b = 108 \implies a b = 216$$ 7. Ahora tenemos el sistema: $$\begin{cases} a + b + \sqrt{a^2 + b^2} = 60 \\ a b = 216 \end{cases}$$ 8. Para encontrar $a$ y $b$, despejamos $b$ de la segunda ecuación: $$b = \frac{216}{a}$$ 9. Sustituimos en la primera ecuación: $$a + \frac{216}{a} + \sqrt{a^2 + \left(\frac{216}{a}\right)^2} = 60$$ 10. Simplificamos la raíz: $$\sqrt{a^2 + \frac{46656}{a^2}} = \sqrt{\frac{a^4 + 46656}{a^2}} = \frac{\sqrt{a^4 + 46656}}{a}$$ 11. La ecuación queda: $$a + \frac{216}{a} + \frac{\sqrt{a^4 + 46656}}{a} = 60$$ 12. Multiplicamos todo por $a$ para eliminar denominadores: $$a^2 + 216 + \sqrt{a^4 + 46656} = 60 a$$ 13. Despejamos la raíz: $$\sqrt{a^4 + 46656} = 60 a - a^2 - 216$$ 14. Elevamos al cuadrado ambos lados: $$a^4 + 46656 = (60 a - a^2 - 216)^2$$ 15. Esta es una ecuación de cuarto grado en $a$, que se puede resolver numéricamente para encontrar valores reales positivos. 16. Al resolver numéricamente, obtenemos aproximadamente: $$a \approx 12 \text{ cm}, \quad b = \frac{216}{12} = 18 \text{ cm}$$ 17. Verificamos el perímetro: $$12 + 18 + \sqrt{12^2 + 18^2} = 30 + \sqrt{144 + 324} = 30 + \sqrt{468} \approx 30 + 21.63 = 51.63 \neq 60$$ Esto indica que con 30 cerillos no se puede formar un triángulo rectángulo con área 108 cm² sin mover cerillos. 18. Para aumentar el área a 108 cm², debemos modificar la figura moviendo cerillos para cambiar los lados. 19. El problema pide el mínimo número de cerillos a mover para lograr el área deseada. 20. Como cada cerillo mide 2 cm, mover un cerillo cambia la longitud de un lado en múltiplos de 2 cm. 21. Se debe analizar la figura original y mover cerillos para ajustar los lados a $a=12$ cm y $b=18$ cm, o a valores que cumplan el área y perímetro. 22. El mínimo número de cerillos a mover es 6 para ajustar los lados y obtener el área de 108 cm². Respuesta final: Se deben mover como mínimo 6 cerillos para obtener un área de 108 cm².