1. Planteamos el problema: Encontrar el centro y radio de la circunferencia que pasa por los puntos A(5,4), B(-2,1) y C(1,-6). Luego, hallar la ecuación de una recta perpendicular a la circunferencia que pasa por el punto (5,4). 2. La ecuación general de la circunferencia es $$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$$ donde el centro es $$\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$$ y el radio $$r = \sqrt{\left(-\frac{D}{2}\right)^2 + \left(-\frac{E}{2}\right)^2 - F}$$. 3. Usamos los puntos para formar un sistema 3x3: Para A(5,4): $$5^2 + 4^2 + 5D + 4E + F = 0 \Rightarrow 25 + 16 + 5D + 4E + F = 0$$ Para B(-2,1): $$(-2)^2 + 1^2 - 2D + 1E + F = 0 \Rightarrow 4 + 1 - 2D + E + F = 0$$ Para C(1,-6): $$1^2 + (-6)^2 + 1D - 6E + F = 0 \Rightarrow 1 + 36 + D - 6E + F = 0$$ 4. Simplificamos: $$25 + 16 + 5D + 4E + F = 0 \Rightarrow 41 + 5D + 4E + F = 0$$ $$5 + (-2D) + E + F = 0 \Rightarrow 5 - 2D + E + F = 0$$ $$37 + D - 6E + F = 0$$ 5. Formamos el sistema: $$\begin{cases} 5D + 4E + F = -41 \\ -2D + E + F = -5 \\ D - 6E + F = -37 \end{cases}$$ 6. Restamos la segunda ecuación de la tercera para eliminar F: $$(D - 6E + F) - (-2D + E + F) = -37 - (-5)$$ $$D - 6E + F + 2D - E - F = -37 + 5$$ $$3D - 7E = -32$$ 7. Restamos la segunda ecuación de la primera para eliminar F: $$(5D + 4E + F) - (-2D + E + F) = -41 - (-5)$$ $$5D + 4E + F + 2D - E - F = -41 + 5$$ $$7D + 3E = -36$$ 8. Tenemos el sistema: $$\begin{cases} 3D - 7E = -32 \\ 7D + 3E = -36 \end{cases}$$ 9. Multiplicamos la primera por 3 y la segunda por 7 para eliminar E: $$9D - 21E = -96$$ $$49D + 21E = -252$$ 10. Sumamos: $$58D = -348 \Rightarrow D = \frac{-348}{58} = -6$$ 11. Sustituimos en $$3D - 7E = -32$$: $$3(-6) - 7E = -32 \Rightarrow -18 - 7E = -32$$ $$-7E = -14 \Rightarrow E = 2$$ 12. Sustituimos D y E en la segunda ecuación para hallar F: $$-2D + E + F = -5$$ $$-2(-6) + 2 + F = -5 \Rightarrow 12 + 2 + F = -5$$ $$F = -5 - 14 = -19$$ 13. Centro: $$\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right) = \left(-\frac{-6}{2}, -\frac{2}{2}\right) = (3, -1)$$ Radio: $$r = \sqrt{3^2 + (-1)^2 - (-19)} = \sqrt{9 + 1 + 19} = \sqrt{29}$$ 14. Para hallar la recta perpendicular a la circunferencia que pasa por (5,4), recordamos que la recta radial va del centro al punto (5,4). Su pendiente es: $$m = \frac{4 - (-1)}{5 - 3} = \frac{5}{2}$$ 15. La recta perpendicular tendrá pendiente $$m_\perp$$ tal que $$m \times m_\perp = -1$$: $$m_\perp = -\frac{1}{m} = -\frac{1}{\frac{5}{2}} = -\frac{2}{5}$$ 16. Ecuación de la recta perpendicular que pasa por (5,4): $$y - 4 = -\frac{2}{5}(x - 5)$$ Simplificamos: $$y - 4 = -\frac{2}{5}x + 2$$ $$y = -\frac{2}{5}x + 6$$ 17. Resumen: Centro: $$(3, -1)$$ Radio: $$\sqrt{29}$$ Ecuación de la recta perpendicular: $$y = -\frac{2}{5}x + 6$$