1. Problema: Hallar las ecuaciones de las circunferencias dadas sus coordenadas del centro y radio. Fórmula general de la circunferencia: $$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $$ donde $(h,k)$ es el centro y $r$ el radio. Para cada caso: a) Centro $C(1,5)$, radio $r=5$: $$ (x - 1)^2 + (y - 5)^2 = 5^2 = 25 $$ b) Centro $C(-4,5)$, radio $r=3$: $$ (x + 4)^2 + (y - 5)^2 = 3^2 = 9 $$ c) Centro $C(5,7)$, radio $r=4$: $$ (x - 5)^2 + (y - 7)^2 = 4^2 = 16 $$ d) Centro $C(4,0)$, radio $r=5$: $$ (x - 4)^2 + y^2 = 5^2 = 25 $$ Segundo grupo: a) Centro $C(3,-1)$, radio $r=4$: $$ (x - 3)^2 + (y + 1)^2 = 16 $$ b) Centro $C(-1,-5)$, radio $r=6$: $$ (x + 1)^2 + (y + 5)^2 = 36 $$ c) Centro $C(0,0)$, radio $r=4$: $$ x^2 + y^2 = 16 $$ d) Centro $C(3,0)$, radio $r=7$: $$ (x - 3)^2 + y^2 = 49 $$ 2. Problema: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en la recta $x + 2y - 2 = 0$ y pasa por $P_1(7,3)$ y $P_2(-3,-7)$. Sea el centro $C(h,k)$ con $h + 2k - 2 = 0$. El radio es la distancia desde $C$ a cualquiera de los puntos, por ejemplo $P_1$: $$ r^2 = (7 - h)^2 + (3 - k)^2 $$ También debe cumplirse para $P_2$: $$ r^2 = (-3 - h)^2 + (-7 - k)^2 $$ Igualamos: $$ (7 - h)^2 + (3 - k)^2 = (-3 - h)^2 + (-7 - k)^2 $$ Expandiendo: $$ (7 - h)^2 + (3 - k)^2 - (-3 - h)^2 - (-7 - k)^2 = 0 $$ Desarrollamos cada término: $$ (7 - h)^2 = (h - 7)^2 = h^2 - 14h + 49 $$ $$ (3 - k)^2 = k^2 - 6k + 9 $$ $$ (-3 - h)^2 = (h + 3)^2 = h^2 + 6h + 9 $$ $$ (-7 - k)^2 = (k + 7)^2 = k^2 + 14k + 49 $$ Sustituyendo: $$ (h^2 - 14h + 49) + (k^2 - 6k + 9) - (h^2 + 6h + 9) - (k^2 + 14k + 49) = 0 $$ Simplificando: $$ h^2 - 14h + 49 + k^2 - 6k + 9 - h^2 - 6h - 9 - k^2 - 14k - 49 = 0 $$ $$ (-14h - 6h) + (-6k - 14k) + (49 + 9 - 9 - 49) = 0 $$ $$ -20h - 20k + 0 = 0 $$ Dividiendo entre -20: $$ h + k = 0 $$ Juntamos con la recta del centro: $$ h + 2k - 2 = 0 $$ $$ h + k = 0 $$ Restando: $$ (h + 2k - 2) - (h + k) = 0 \\ h + 2k - 2 - h - k = 0 \\ k - 2 = 0 \\ k = 2 $$ Entonces: $$ h + k = 0 \\ h + 2 = 0 \\ h = -2 $$ Centro: $C(-2,2)$ Radio: $$ r^2 = (7 - (-2))^2 + (3 - 2)^2 = 9^2 + 1^2 = 81 + 1 = 82 $$ Ecuación: $$ (x + 2)^2 + (y - 2)^2 = 82 $$ 3. Problema: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por $P_1(0,8)$ y $P_2(7,1)$ y cuyo centro está sobre la recta $2x - 3y + 6 = 0$. Sea el centro $C(h,k)$ con $2h - 3k + 6 = 0$. El radio es la distancia desde $C$ a $P_1$ o $P_2$: $$ r^2 = (0 - h)^2 + (8 - k)^2 = h^2 + (8 - k)^2 $$ $$ r^2 = (7 - h)^2 + (1 - k)^2 $$ Igualamos: $$ h^2 + (8 - k)^2 = (7 - h)^2 + (1 - k)^2 $$ Expandiendo: $$ h^2 + (64 - 16k + k^2) = (49 - 14h + h^2) + (1 - 2k + k^2) $$ Simplificando: $$ h^2 + 64 - 16k + k^2 = 49 - 14h + h^2 + 1 - 2k + k^2 $$ Cancelamos $h^2$ y $k^2$ de ambos lados: $$ 64 - 16k = 50 - 14h - 2k $$ Reordenamos: $$ 64 - 16k - 50 + 14h + 2k = 0 \\ 14h - 14k + 14 = 0 $$ Dividimos entre 14: $$ h - k + 1 = 0 \\ h = k - 1 $$ Usamos la recta del centro: $$ 2h - 3k + 6 = 0 $$ Sustituimos $h$: $$ 2(k - 1) - 3k + 6 = 0 \\ 2k - 2 - 3k + 6 = 0 \\ -k + 4 = 0 \\ k = 4 $$ Entonces: $$ h = 4 - 1 = 3 $$ Centro: $C(3,4)$ Radio: $$ r^2 = (0 - 3)^2 + (8 - 4)^2 = 9 + 16 = 25 $$ Ecuación: $$ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 $$ Expandiendo para verificar la solución dada: $$ x^2 - 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 25 $$ $$ x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 25 $$ $$ x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0 $$ 4. Graficar y hallar elementos de las circunferencias dadas por ecuaciones generales. Para cada ecuación de la forma: $$ x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0 $$ El centro es: $$ C\left(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2}\right) $$ El radio es: $$ r = \sqrt{\left(-\frac{A}{2}\right)^2 + \left(-\frac{B}{2}\right)^2 - C} $$ Ejemplo para la ecuación 4: $x^2 + y^2 - 25 = 0$ Centro: $C(0,0)$ Radio: $r = \sqrt{0 + 0 + 25} = 5$ (Se aplicaría el mismo procedimiento para las demás ecuaciones.) --- Resumen: - Se resolvieron 3 problemas principales con varios subincisos. - Se hallaron las ecuaciones de las circunferencias con centro y radio dados. - Se determinó la ecuación de circunferencias con centro sobre una recta y que pasan por puntos dados. - Se verificó la ecuación dada para el problema 3. - Se explicó cómo hallar centro y radio de circunferencias dadas en forma general.