1. **Planteamiento del problema:** Queremos comparar las cuatro cónicas principales: parábola, circunferencia, elipse e hipérbola. 2. **Ecuaciones canónicas:** - Parábola (vértice en el origen): $$y^2=4px$$ o $$x^2=4py$$ - Circunferencia (centro en el origen): $$x^2+y^2=r^2$$ - Elipse (centro en el origen): $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ - Hipérbola (centro en el origen): $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ 3. **Ecuaciones con traslación (centro/vértice en $$ (h,k) $$):** - Parábola: $$ (y-k)^2=4p(x-h) $$ o $$ (x-h)^2=4p(y-k) $$ - Circunferencia: $$ (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 $$ - Elipse: $$ \frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 $$ - Hipérbola: $$ \frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 $$ 4. **Elementos clave y propiedades:** - Parábola: foco, directriz, vértice; todos los puntos equidistan del foco y la directriz. - Circunferencia: centro y radio; todos los puntos equidistan del centro. - Elipse: dos focos, centro, ejes mayor y menor; suma de distancias a focos constante. - Hipérbola: dos focos, centro, ejes, asíntotas; diferencia de distancias a focos constante. 5. **Representación esquemática:** Cada cónica tiene un SVG que muestra sus elementos clave para facilitar la comparación visual. 6. **Resumen en tabla:** | Cónica | Ecuación canónica (origen) | Elementos clave | Propiedades principales | |--------------|------------------------------------|---------------------------------|----------------------------------------------------------| | Parábola | $$y^2=4px$$ o $$x^2=4py$$ | Foco, directriz, vértice | Puntos equidistan foco y directriz | | Circunferencia| $$x^2+y^2=r^2$$ | Centro, radio | Puntos equidistan centro | | Elipse | $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$ | Dos focos, centro, ejes | Suma distancias a focos constante | | Hipérbola | $$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$ | Dos focos, centro, ejes, asíntotas | Diferencia distancias a focos constante |