1. **Planteamiento del problema:** Queremos hallar todos los números reales $a$ tales que el punto $(a, y)$ esté a una distancia 8 del punto $(3,7)$. 2. **Fórmula de distancia entre dos puntos:** La distancia $d$ entre dos puntos $A=(x_1,y_1)$ y $B=(x_2,y_2)$ está dada por: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ 3. **Aplicamos la fórmula con los datos:** Sabemos que $d=8$, $B=(3,7)$ y $A=(a,y)$ donde $y$ es desconocido. El problema parece indicar que $y=0$ (por la notación $A=(a;0;7)$ que interpretamos como $y=0$). Entonces: $$8 = \sqrt{(3 - a)^2 + (7 - 0)^2}$$ 4. **Elevamos al cuadrado ambos lados para eliminar la raíz:** $$8^2 = (3 - a)^2 + 7^2$$ $$64 = (3 - a)^2 + 49$$ 5. **Despejamos $(3 - a)^2$:** $$64 - 49 = (3 - a)^2$$ $$15 = (3 - a)^2$$ 6. **Sacamos raíz cuadrada, recordando las dos soluciones:** $$\sqrt{15} = |3 - a|$$ $$3 - a = \sqrt{15} \quad \text{o} \quad 3 - a = -\sqrt{15}$$ 7. **Despejamos $a$ en cada caso:** - Caso 1: $$3 - a = \sqrt{15} \Rightarrow a = 3 - \sqrt{15}$$ - Caso 2: $$3 - a = -\sqrt{15} \Rightarrow a = 3 + \sqrt{15}$$ **Respuesta final:** Los valores de $a$ que cumplen la condición son: $$a = 3 - \sqrt{15} \quad \text{y} \quad a = 3 + \sqrt{15}$$