1. Planteamos el problema: Encontrar las coordenadas del punto $P(x,y)$ que divide al segmento $AB$ en una razón dada. 2. La fórmula para encontrar el punto que divide un segmento en la razón $m:n$ es: $$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n} \right)$$ 3. Caso a: Razón 1:3, $A(-5,1)$ y $B(3,-3)$. Aplicamos la fórmula con $m=1$, $n=3$, $x_1=-5$, $y_1=1$, $x_2=3$, $y_2=-3$: $$x = \frac{1\cdot3 + 3\cdot(-5)}{1+3} = \frac{3 - 15}{4} = \frac{-12}{4} = -3$$ $$y = \frac{1\cdot(-3) + 3\cdot1}{1+3} = \frac{-3 + 3}{4} = \frac{0}{4} = 0$$ 4. Caso b: Razón 4:5, $A(1,8)$ y $B(6,-2)$. Aplicamos la fórmula con $m=4$, $n=5$, $x_1=1$, $y_1=8$, $x_2=6$, $y_2=-2$: $$x = \frac{4\cdot6 + 5\cdot1}{4+5} = \frac{24 + 5}{9} = \frac{29}{9}$$ $$y = \frac{4\cdot(-2) + 5\cdot8}{4+5} = \frac{-8 + 40}{9} = \frac{32}{9}$$ 5. Resumen de resultados: - Para la razón 1:3, $P=(-3,0)$. - Para la razón 4:5, $P=\left(\frac{29}{9}, \frac{32}{9}\right)$. 6. La gráfica muestra los puntos $A$, $B$ y $P$ para ambos casos, con segmentos y etiquetas para claridad.