Question: Considerar el círculo centrado en el origen con radio $8$. (a) Escribir la ecuación del círculo. (b) Para cada punto, indicar si se encuentra en el círculo. $(x, y)$ ¿Está el punto en el círculo? Sí No $(0, -8)$ $(\sqrt{7}, 6)$ $(-4, \sqrt{15})$ $(7, 0)$

1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un círculo centrado en el origen con radio $8$. Debemos: (a) Escribir la ecuación del círculo. (b) Determinar si cada uno de los puntos dados está sobre el círculo. --- 2. **Ecuación del círculo:** La fórmula general para un círculo centrado en el origen $(0,0)$ con radio $r$ es: $$x^2 + y^2 = r^2$$ Dado que $r = 8$, la ecuación es: $$x^2 + y^2 = 8^2 = 64$$ --- 3. **Verificación de los puntos:** Para cada punto $(x,y)$, calculamos $x^2 + y^2$ y comparamos con $64$. - Punto $(0, -8)$: $$0^2 + (-8)^2 = 0 + 64 = 64$$ Como $64 = 64$, el punto está en el círculo. - Punto $(\sqrt{7}, 6)$: $$ (\sqrt{7})^2 + 6^2 = 7 + 36 = 43$$ Como $43 \neq 64$, el punto no está en el círculo. - Punto $(-4, \sqrt{15})$: $$(-4)^2 + (\sqrt{15})^2 = 16 + 15 = 31$$ Como $31 \neq 64$, el punto no está en el círculo. - Punto $(7, 0)$: $$7^2 + 0^2 = 49 + 0 = 49$$ Como $49 \neq 64$, el punto no está en el círculo. --- **Respuesta final:** - Ecuación del círculo: $$x^2 + y^2 = 64$$ - Puntos en el círculo: $(0, -8)$ - Puntos fuera del círculo: $(\sqrt{7}, 6)$, $(-4, \sqrt{15})$, $(7, 0)$