1. Planteamiento del problema: Tenemos dos tangentes desde un punto exterior P a una circunferencia, con longitudes PA = 3x - 5 y PB = x + 15. Por la propiedad de tangentes desde un punto exterior, PA = PB. 2. Fórmula y regla: Si dos tangentes se trazan desde un mismo punto exterior a una circunferencia, sus longitudes son iguales. Por lo tanto: $$3x - 5 = x + 15$$ 3. Resolución de la ecuación: $$3x - 5 = x + 15$$ Restamos $x$ de ambos lados: $$3x - \cancel{x} - 5 = \cancel{x} + 15 \Rightarrow 2x - 5 = 15$$ Sumamos 5 a ambos lados: $$2x - 5 + 5 = 15 + 5 \Rightarrow 2x = 20$$ Dividimos entre 2: $$\frac{2x}{\cancel{2}} = \frac{20}{\cancel{2}} \Rightarrow x = 10$$ 4. Calculamos la longitud de las tangentes sustituyendo $x=10$: $$PA = 3(10) - 5 = 30 - 5 = 25$$ $$PB = 10 + 15 = 25$$ Por lo tanto, la longitud de las tangentes es 25 unidades. --- 1. Planteamiento: El ángulo formado entre el radio OT y la recta tangente es dado por la ecuación: $$8x + 10 = 90$$ 2. Resolución: Restamos 10 de ambos lados: $$8x + 10 - 10 = 90 - 10 \Rightarrow 8x = 80$$ Dividimos entre 8: $$\frac{8x}{\cancel{8}} = \frac{80}{\cancel{8}} \Rightarrow x = 10$$ --- 1. Planteamiento: En un triángulo rectángulo formado por el centro O, el punto de tangencia T y el punto exterior P, con radio OT = 30, PT = 4x y OP = 50, aplicamos Pitágoras: $$OP^2 = OT^2 + PT^2$$ 2. Ecuación: $$50^2 = 30^2 + (4x)^2$$ Simplificamos: $$2500 = 900 + 16x^2$$ Restamos 900: $$2500 - 900 = 16x^2 \Rightarrow 1600 = 16x^2$$ Dividimos entre 16: $$\frac{1600}{16} = x^2 \Rightarrow 100 = x^2$$ 3. Solución: $$x = \sqrt{100} = 10$$ --- 1. Planteamiento: En un triángulo con una circunferencia inscrita, los segmentos tangentes desde un vértice son iguales. Dado que miden $2x + 4$ y 12, igualamos: $$2x + 4 = 12$$ 2. Resolución: Restamos 4: $$2x + 4 - 4 = 12 - 4 \Rightarrow 2x = 8$$ Dividimos entre 2: $$\frac{2x}{\cancel{2}} = \frac{8}{\cancel{2}} \Rightarrow x = 4$$ --- 1. Planteamiento: El ángulo formado por el radio y la tangente es complementario a 90°, dado por: $$2x + 20 = 90$$ 2. Resolución: Restamos 20: $$2x + 20 - 20 = 90 - 20 \Rightarrow 2x = 70$$ Dividimos entre 2: $$\frac{2x}{\cancel{2}} = \frac{70}{\cancel{2}} \Rightarrow x = 35$$