1. Planteamos el problema: Dada una circunferencia con puntos B, C y A en su perímetro, y una recta tangente en A, con $m\angle CBA = 50^\circ$ y $BC = 12$, se pide calcular: a) $m\angle CAB$ b) La medida del lado $AB$ 2. Recordamos que en un triángulo inscrito en una circunferencia, el ángulo inscrito es igual al ángulo subtendido por el arco opuesto. Además, la recta tangente en un punto de la circunferencia es perpendicular al radio en ese punto. 3. Usamos la ley de senos en el triángulo $ABC$: $$\frac{AB}{\sin 90^\circ} = \frac{BC}{\sin 40^\circ}$$ porque $m\angle CAB = 40^\circ$ (complemento de $50^\circ$ en el triángulo, dado que $m\angle CBA = 50^\circ$ y $m\angle CAB + m\angle CBA + m\angle BAC = 180^\circ$ y $m\angle BAC = 90^\circ$ por la tangente). 4. Despejamos $AB$: $$AB = \frac{BC \cdot \sin 90^\circ}{\sin 40^\circ} = \frac{12 \cdot 1}{\sin 40^\circ} \approx 18.67$$ 5. Por lo tanto: - $m\angle CAB = 40^\circ$ - $AB \approx 18.67$ --- 1. Segundo ejercicio similar: Dada una circunferencia con puntos P, Q y R en su perímetro, y una recta tangente en R, con $m\angle PQR = 60^\circ$ y $PQ = 10$, se pide calcular: a) $m\angle PRQ$ b) La medida del lado $PR$ 2. Aplicamos la ley de senos en el triángulo $PQR$: $$\frac{PR}{\sin 90^\circ} = \frac{PQ}{\sin 30^\circ}$$ porque $m\angle PRQ = 30^\circ$ (complemento de $60^\circ$ en el triángulo con ángulo recto en $R$ por la tangente). 3. Despejamos $PR$: $$PR = \frac{PQ \cdot \sin 90^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{10 \cdot 1}{0.5} = 20$$ 4. Por lo tanto: - $m\angle PRQ = 30^\circ$ - $PR = 20$ --- 1. Tercer ejercicio similar: Dada una circunferencia con puntos X, Y y Z en su perímetro, y una recta tangente en Z, con $m\angle XYZ = 35^\circ$ y $XY = 15$, se pide calcular: a) $m\angle XZY$ b) La medida del lado $XZ$ 2. Aplicamos la ley de senos en el triángulo $XYZ$: $$\frac{XZ}{\sin 90^\circ} = \frac{XY}{\sin 55^\circ}$$ porque $m\angle XZY = 55^\circ$ (complemento de $35^\circ$ en el triángulo con ángulo recto en $Z$ por la tangente). 3. Despejamos $XZ$: $$XZ = \frac{XY \cdot \sin 90^\circ}{\sin 55^\circ} = \frac{15 \cdot 1}{\sin 55^\circ} \approx 18.27$$ 4. Por lo tanto: - $m\angle XZY = 55^\circ$ - $XZ \approx 18.27$