1. Planteamos el problema: Tenemos una elipse con focos en $F_1=(-4,3)$ y $F_2=(2,3)$. 2. Recordemos que para una elipse, la suma de las distancias desde cualquier punto $P$ en la elipse a los focos es constante y es igual a la longitud del eje mayor $2a$. 3. El problema nos dice que el perímetro del triángulo formado por los focos y un punto $P$ en la elipse es 16. El perímetro es la suma de las distancias entre los vértices: $$\text{Perímetro} = |F_1F_2| + |F_1P| + |F_2P| = 16$$ 4. Calculamos la distancia entre los focos: $$|F_1F_2| = \sqrt{(2 - (-4))^2 + (3 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + 0} = 6$$ 5. Entonces: $$6 + |F_1P| + |F_2P| = 16 \implies |F_1P| + |F_2P| = 10$$ 6. Por definición de la elipse, la suma de las distancias a los focos es $2a$, por lo que: $$2a = 10 \implies a = 5$$ 7. El centro de la elipse $C$ es el punto medio entre los focos: $$C = \left(\frac{-4 + 2}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = (-1, 3)$$ 8. La distancia entre los focos es $2c = 6$, entonces: $$c = 3$$ 9. Usamos la relación entre $a$, $b$ y $c$ para la elipse horizontal: $$c^2 = a^2 - b^2 \implies b^2 = a^2 - c^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$$ 10. La ecuación de la elipse con centro en $(-1,3)$ y eje mayor horizontal es: $$\frac{(x + 1)^2}{25} + \frac{(y - 3)^2}{16} = 1$$ 11. Esta es la ecuación buscada. 12. Para graficar, la elipse está centrada en $(-1,3)$, con semieje mayor $a=5$ en dirección horizontal y semieje menor $b=4$ en dirección vertical.