1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la función vectorial $$r : \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right] \to \mathbb{R}^2$$ definida por $$r(t) = (3 \sin(t), 1 + \cos(t))$$. Queremos: a) Identificar, graficar e indicar la trayectoria de la curva imagen de $$r$$. b) Escribir la ecuación en forma canónica. 2. **Identificación y análisis de la curva:** La curva está dada por las coordenadas: $$x = 3 \sin(t)$$ $$y = 1 + \cos(t)$$ con $$t \in \left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$$. 3. **Obtener la ecuación en forma canónica:** Sabemos que $$\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$$. De $$x = 3 \sin(t)$$ despejamos $$\sin(t) = \frac{x}{3}$$. De $$y = 1 + \cos(t)$$ despejamos $$\cos(t) = y - 1$$. Sustituyendo en la identidad trigonométrica: $$\left(\frac{x}{3}\right)^2 + (y - 1)^2 = 1$$ 4. **Interpretación:** Esta es la ecuación de una elipse centrada en $$(0,1)$$ con semiejes: - Horizontal: $$a = 3$$ - Vertical: $$b = 1$$ 5. **Dirección y trayectoria:** Para $$t$$ desde $$\frac{\pi}{2}$$ hasta $$\frac{3\pi}{2}$$: - En $$t=\frac{\pi}{2}$$, $$r\left(\frac{\pi}{2}\right) = (3, 1 + 0) = (3,1)$$ (punto derecho de la elipse). - En $$t=\pi$$, $$r(\pi) = (0, 1 - 1) = (0,0)$$ (punto inferior). - En $$t=\frac{3\pi}{2}$$, $$r\left(\frac{3\pi}{2}\right) = (-3, 1 + 0) = (-3,1)$$ (punto izquierdo). Esto indica que la curva se traza desde el punto derecho, bajando por la parte inferior hasta el punto izquierdo. **Respuesta final:** La curva es la mitad inferior de la elipse $$\frac{x^2}{9} + (y-1)^2 = 1$$, trazada desde el punto $$(3,1)$$ hasta $$(-3,1)$$ pasando por abajo.