1. Planteamos el problema: Encontrar la excentricidad de la hipérbola dada por la ecuación $$9x^2 - 7y^2 + 256 = 0$$. 2. Primero, escribimos la ecuación en la forma estándar de una hipérbola. Para ello, despejamos el término constante: $$9x^2 - 7y^2 = -256$$ Dividimos toda la ecuación por $-256$ para obtener 1 en el lado derecho: $$\frac{9x^2}{-256} - \frac{7y^2}{-256} = 1$$ Esto es equivalente a: $$-\frac{9x^2}{256} + \frac{7y^2}{256} = 1$$ Multiplicamos por $-1$ para que el primer término sea positivo: $$\frac{7y^2}{256} - \frac{9x^2}{256} = 1$$ 3. Reescribimos la ecuación en forma estándar: $$\frac{y^2}{\frac{256}{7}} - \frac{x^2}{\frac{256}{9}} = 1$$ 4. Identificamos los valores: $$a^2 = \frac{256}{7}$$ $$b^2 = \frac{256}{9}$$ 5. La excentricidad $e$ de una hipérbola con esta forma es: $$e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$$ 6. Sustituimos los valores: $$e = \sqrt{1 + \frac{\frac{256}{9}}{\frac{256}{7}}} = \sqrt{1 + \frac{256}{9} \times \frac{7}{256}} = \sqrt{1 + \frac{7}{9}}$$ 7. Simplificamos: $$e = \sqrt{\frac{9}{9} + \frac{7}{9}} = \sqrt{\frac{16}{9}} = \frac{4}{3}$$ 8. Por lo tanto, la excentricidad de la hipérbola es: $$e = \frac{4}{3}$$