1. Planteamos el problema: Tenemos un triángulo rectángulo con un ángulo $\angle D = 60^\circ$ y el lado $EF = 4\sqrt{3}$. Queremos encontrar la medida del lado $DE$. 2. Observamos que el triángulo tiene un ángulo recto en $F$ (implícito por ser triángulo rectángulo), por lo que los lados $DE$ y $EF$ son los catetos y $DE$ es el lado opuesto al ángulo de $60^\circ$. 3. Usamos la definición de las funciones trigonométricas en triángulos rectángulos. En particular, el coseno del ángulo $D$ es: $$\cos 60^\circ = \frac{EF}{DE}$$ 4. Sabemos que $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ y $EF = 4\sqrt{3}$, entonces: $$\frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{DE}$$ 5. Despejamos $DE$ multiplicando ambos lados por $DE$ y luego por 2: $$\cancel{\frac{1}{2}} \times DE = 4\sqrt{3} \Rightarrow DE = 4\sqrt{3} \times 2$$ 6. Simplificamos: $$DE = 8\sqrt{3}$$ 7. Revisamos las opciones dadas: ninguna es $8\sqrt{3}$, pero revisemos si el ángulo recto está en $F$ o en otro vértice. Si el ángulo recto está en $E$, entonces $DE$ sería la hipotenusa y $EF$ un cateto. 8. Si $\angle F = 90^\circ$, entonces $DE$ es la hipotenusa y $EF$ es el cateto adyacente al ángulo $60^\circ$. 9. En este caso, usamos: $$\cos 60^\circ = \frac{EF}{DE}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{DE}$$ Despejando: $$DE = 4\sqrt{3} \times 2 = 8\sqrt{3}$$ 10. Como $8\sqrt{3}$ no está en las opciones, revisamos si el ángulo recto está en $D$ o $E$. Si el ángulo recto está en $D$, entonces $DE$ es un cateto y $EF$ es la hipotenusa. 11. Usamos la función seno para el ángulo $60^\circ$: $$\sin 60^\circ = \frac{DE}{EF}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{DE}{4\sqrt{3}}$$ 12. Despejamos $DE$: $$DE = 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \times \frac{3}{2} = 6$$ 13. 6 no está en las opciones, entonces probamos con el ángulo recto en $E$, $DE$ es hipotenusa y $EF$ es cateto opuesto al ángulo $60^\circ$. 14. Usamos la función seno: $$\sin 60^\circ = \frac{EF}{DE}$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4\sqrt{3}}{DE}$$ 15. Despejamos $DE$: $$DE = \frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 4\sqrt{3} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 8$$ 16. La respuesta correcta es $8$, que corresponde a la opción C).