1. **Planteamiento del problema:** Se tienen dos triángulos similares $\triangle ABC$ y $\triangle DEC$ con ángulos correspondientes iguales: $\angle A = \angle D$ y $\angle B = \angle E$. Se sabe que los lados son proporcionales y se dan las siguientes longitudes: - $AB = x + 6$ cm - $BC = 16$ cm - $DE = x + 1$ cm - $EC = x + 4$ cm Se pide determinar las longitudes de los segmentos $BC$, $EC$ y $DE$. 2. **Relación de proporcionalidad:** Para triángulos semejantes, los lados correspondientes son proporcionales: $$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EC}$$ 3. **Sustitución de valores:** $$\frac{x+6}{x+1} = \frac{16}{x+4}$$ 4. **Resolviendo la ecuación:** Multiplicamos cruzado: $$ (x+6)(x+4) = 16(x+1) $$ Expandiendo: $$ x^2 + 4x + 6x + 24 = 16x + 16 $$ Simplificando términos semejantes: $$ x^2 + 10x + 24 = 16x + 16 $$ Llevamos todo a un lado: $$ x^2 + 10x + 24 - 16x - 16 = 0 $$ $$ x^2 - 6x + 8 = 0 $$ 5. **Factorizando la ecuación cuadrática:** $$ (x - 2)(x - 4) = 0 $$ Por lo tanto, las soluciones son: $$ x = 2 \quad \text{o} \quad x = 4 $$ 6. **Evaluando las soluciones para los lados:** - Para $x=2$: - $DE = 2 + 1 = 3$ - $EC = 2 + 4 = 6$ - $BC = 16$ (dado) - Para $x=4$: - $DE = 4 + 1 = 5$ - $EC = 4 + 4 = 8$ - $BC = 16$ (dado) 7. **Verificación con las opciones:** - Opción a: $BC=16, EC=6, DE=3$ coincide con $x=2$ - Opción d: $BC=16, EC=8, DE=5$ coincide con $x=4$ Ambas opciones son posibles, pero generalmente se elige la que mantiene la proporcionalidad y sentido geométrico. 8. **Respuesta correcta:** La opción a) $BC=16, EC=6, DE=3$ es correcta y coincide con la solución $x=2$. **Respuesta final:** $BC=16$, $EC=6$, $DE=3$.