1. Planteamos el problema: Dado el triángulo con vértices $A(-1,-1)$, $B(2,4)$ y $C(4,1)$, debemos hallar la longitud de la mediana y de la altura que parten del vértice $B$. 2. Recordemos que la mediana desde un vértice es el segmento que une ese vértice con el punto medio del lado opuesto. 3. Primero, calculamos el punto medio $M_c$ del segmento $AC$ usando la fórmula del punto medio: $$M_c = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right) = \left(\frac{-1 + 4}{2}, \frac{-1 + 1}{2}\right) = (\frac{3}{2}, 0) = (1.5, 0)$$ 4. La mediana desde $B$ es el segmento $BM_c$. Calculamos su longitud con la fórmula de distancia entre dos puntos: $$BM_c = \sqrt{(x_B - x_{M_c})^2 + (y_B - y_{M_c})^2} = \sqrt{(2 - 1.5)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{0.5^2 + 4^2} = \sqrt{0.25 + 16} = \sqrt{16.25}$$ 5. Simplificamos la raíz: $$BM_c = \sqrt{16.25} = 4.03 \text{ (aproximadamente)}$$ 6. Ahora, para hallar la altura desde $B$ sobre $AC$, necesitamos la ecuación de la recta $AC$. 7. La pendiente de $AC$ es: $$m_{AC} = \frac{y_C - y_A}{x_C - x_A} = \frac{1 - (-1)}{4 - (-1)} = \frac{2}{5}$$ 8. La ecuación de la recta $AC$ en forma punto-pendiente usando el punto $A$ es: $$y - (-1) = \frac{2}{5}(x - (-1)) \Rightarrow y + 1 = \frac{2}{5}(x + 1)$$ 9. La altura desde $B$ es perpendicular a $AC$, por lo que su pendiente es la negativa recíproca: $$m_h = -\frac{5}{2}$$ 10. La ecuación de la altura desde $B$ es: $$y - 4 = -\frac{5}{2}(x - 2)$$ 11. Para hallar el pie de la altura $H$, resolvemos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} y + 1 = \frac{2}{5}(x + 1) \\ y - 4 = -\frac{5}{2}(x - 2) \end{cases}$$ 12. De la primera ecuación: $$y = \frac{2}{5}(x + 1) - 1 = \frac{2}{5}x + \frac{2}{5} - 1 = \frac{2}{5}x - \frac{3}{5}$$ 13. Sustituimos en la segunda: $$\frac{2}{5}x - \frac{3}{5} - 4 = -\frac{5}{2}(x - 2)$$ 14. Simplificamos el lado izquierdo: $$\frac{2}{5}x - \frac{3}{5} - \frac{20}{5} = \frac{2}{5}x - \frac{23}{5}$$ 15. La ecuación queda: $$\frac{2}{5}x - \frac{23}{5} = -\frac{5}{2}x + 5$$ 16. Sumamos $\frac{5}{2}x$ a ambos lados y sumamos $\frac{23}{5}$ a ambos lados: $$\frac{2}{5}x + \frac{5}{2}x = 5 + \frac{23}{5}$$ 17. Convertimos a común denominador y sumamos: $$\frac{2}{5}x + \frac{5}{2}x = \frac{4}{10}x + \frac{25}{10}x = \frac{29}{10}x$$ $$5 + \frac{23}{5} = \frac{25}{5} + \frac{23}{5} = \frac{48}{5}$$ 18. Entonces: $$\frac{29}{10}x = \frac{48}{5}$$ 19. Multiplicamos ambos lados por 10 para eliminar denominadores: $$29x = 96$$ 20. Despejamos $x$: $$x = \frac{96}{29} \approx 3.31$$ 21. Sustituimos $x$ en la ecuación de $y$: $$y = \frac{2}{5} \times \frac{96}{29} - \frac{3}{5} = \frac{192}{145} - \frac{3}{5} = \frac{192}{145} - \frac{87}{145} = \frac{105}{145} = \frac{21}{29} \approx 0.72$$ 22. El pie de la altura es $H\left(\frac{96}{29}, \frac{21}{29}\right)$. 23. Calculamos la longitud de la altura $BH$: $$BH = \sqrt{\left(2 - \frac{96}{29}\right)^2 + \left(4 - \frac{21}{29}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{58}{29} - \frac{96}{29}\right)^2 + \left(\frac{116}{29} - \frac{21}{29}\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{38}{29}\right)^2 + \left(\frac{95}{29}\right)^2}$$ 24. Simplificamos: $$BH = \sqrt{\frac{1444}{841} + \frac{9025}{841}} = \sqrt{\frac{10469}{841}} = \frac{\sqrt{10469}}{29} \approx \frac{102.31}{29} = 3.53$$ **Respuesta final:** - Longitud de la mediana desde $B$: aproximadamente $4.03$ - Longitud de la altura desde $B$: aproximadamente $3.53$