1. **Planteamiento del problema:** Tenemos un ortoedro ABCDEFGH con dimensiones AD = 7 cm, DC = 4 cm y CG = 3 cm. 2. **Recordatorio del Teorema de Pitágoras:** Para un triángulo rectángulo con catetos $a$ y $b$ y hipotenusa $c$, se cumple: $$c^2 = a^2 + b^2$$ 3. **Parte a: Hallar longitudes** - i) Longitud de $AH$: $AH$ es la diagonal del ortoedro desde A hasta H, que se puede calcular usando las tres dimensiones: $$AH = \sqrt{AD^2 + DC^2 + CG^2} = \sqrt{7^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 16 + 9} = \sqrt{74}$$ - ii) Longitud de $AC$: $AC$ es la diagonal de la base rectangular (plano ABCD), con lados $AD=7$ y $DC=4$: $$AC = \sqrt{AD^2 + DC^2} = \sqrt{7^2 + 4^2} = \sqrt{49 + 16} = \sqrt{65}$$ - iii) Longitud de $DG$: $DG$ es la diagonal vertical del rectángulo DCFG, con lados $DC=4$ y $CG=3$: $$DG = \sqrt{DC^2 + CG^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$ - iv) Longitud de $AG$: $AG$ es la diagonal del rectángulo ABGH, con lados $AD=7$ y $CG=3$: $$AG = \sqrt{AD^2 + CG^2} = \sqrt{7^2 + 3^2} = \sqrt{49 + 9} = \sqrt{58}$$ 4. **Parte b: Hallar distancias entre puntos medios** - i) Distancia entre el punto medio de $CG$ y $A$: El punto medio de $CG$ es $M_1 = \left(C + \frac{G - C}{2}\right)$, pero para distancia solo necesitamos usar coordenadas relativas. Si tomamos $A$ en el origen $(0,0,0)$, entonces: $C = (7,4,0)$, $G = (7,4,3)$, punto medio $M_1 = (7,4,1.5)$. Distancia $AM_1 = \sqrt{(7-0)^2 + (4-0)^2 + (1.5-0)^2} = \sqrt{49 + 16 + 2.25} = \sqrt{67.25}$ - ii) Distancia entre el punto medio de $AD$ y el punto medio de $CG$: Punto medio de $AD$ es $M_2 = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+7}{2}\right) = (0,0,3.5)$ Punto medio de $CG$ es $M_1 = (7,4,1.5)$ Distancia $M_2M_1 = \sqrt{(7-0)^2 + (4-0)^2 + (1.5-3.5)^2} = \sqrt{49 + 16 + 4} = \sqrt{69}$ **Respuestas finales:** - $AH = \sqrt{74} \approx 8.60$ cm - $AC = \sqrt{65} \approx 8.06$ cm - $DG = 5$ cm - $AG = \sqrt{58} \approx 7.62$ cm - Distancia entre punto medio de $CG$ y $A = \sqrt{67.25} \approx 8.20$ cm - Distancia entre punto medio de $AD$ y punto medio de $CG = \sqrt{69} \approx 8.31$ cm