1. Planteamos el problema: Tenemos un paralelogramo ABCD con vértices A(1,3), B(5,-1), C(8,2) y queremos hallar el punto D. 2. Recordemos que en un paralelogramo los vectores opuestos son iguales: $$\vec{AD} = \vec{BC}$$ y $$\vec{DC} = \vec{AB}$$. 3. Calculamos el vector $$\vec{AB}$$: $$\vec{AB} = (5-1, -1-3) = (4, -4)$$ 4. Calculamos el vector $$\vec{BC}$$: $$\vec{BC} = (8-5, 2-(-1)) = (3, 3)$$ 5. Usamos $$\vec{AD} = \vec{BC}$$ para hallar D: Sea $$D = (x,y)$$, entonces $$\vec{AD} = (x-1, y-3) = (3, 3)$$ De aquí: $$x-1=3 \Rightarrow x=4$$ $$y-3=3 \Rightarrow y=6$$ Por lo tanto, $$D = (4,6)$$. 6. Calculamos $$\vec{CD}$$: $$\vec{CD} = (4-8, 6-2) = (-4, 4)$$ 7. Calculamos $$\vec{DA}$$: $$\vec{DA} = (1-4, 3-6) = (-3, -3)$$ 8. Comprobamos que los lados opuestos son paralelos e iguales: - $$\vec{AB} = (4, -4)$$ y $$\vec{DC} = -\vec{CD} = -(-4,4) = (4,-4)$$, iguales. - $$\vec{BC} = (3,3)$$ y $$\vec{AD} = (3,3)$$, iguales. Por lo tanto, los lados opuestos son paralelos e iguales, confirmando que ABCD es un paralelogramo. Respuesta final: $$D = (4,6)$$, vectores $$\vec{AB} = (4,-4)$$, $$\vec{BC} = (3,3)$$, $$\vec{CD} = (-4,4)$$, $$\vec{DA} = (-3,-3)$$.