1. Planteamos el problema: Tenemos un paralelogramo con diagonales de longitudes $842$ m y $1426$ m, y el lado más corto mide $842$ m. Debemos hallar la longitud del lado más largo y el área del paralelogramo. 2. Recordemos que en un paralelogramo, si los lados son $a$ y $b$, y las diagonales son $d_1$ y $d_2$, se cumple la fórmula: $$d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$$ 3. Sabemos que el lado más corto es $a = 842$ m, y queremos encontrar $b$ (el lado más largo). Sustituimos: $$842^2 + 1426^2 = 2(842^2 + b^2)$$ 4. Calculamos los cuadrados: $$842^2 = 708,964$$ $$1426^2 = 2,034,276$$ 5. Sumamos las diagonales al cuadrado: $$708,964 + 2,034,276 = 2,743,240$$ 6. Sustituimos en la fórmula: $$2,743,240 = 2(708,964 + b^2)$$ 7. Dividimos ambos lados entre 2: $$\cancel{2} ,743,240 \div \cancel{2} = 708,964 + b^2$$ $$1,371,620 = 708,964 + b^2$$ 8. Despejamos $b^2$: $$b^2 = 1,371,620 - 708,964 = 662,656$$ 9. Calculamos $b$: $$b = \sqrt{662,656} = 814$$ m (lado más largo) 10. Para hallar el área, usamos la fórmula del área del paralelogramo: $$Área = base \times altura$$ 11. Para encontrar la altura, usamos la relación con las diagonales y lados. Sabemos que: $$d_1^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(\theta)$$ Donde $\theta$ es el ángulo entre los lados $a$ y $b$. 12. Despejamos $\cos(\theta)$ usando la diagonal menor $d_1 = 842$: $$842^2 = 842^2 + 814^2 - 2 \times 842 \times 814 \cos(\theta)$$ 13. Simplificamos: $$708,964 = 708,964 + 662,596 - 2 \times 842 \times 814 \cos(\theta)$$ 14. Restamos $708,964$ de ambos lados: $$0 = 662,596 - 2 \times 842 \times 814 \cos(\theta)$$ 15. Despejamos $\cos(\theta)$: $$2 \times 842 \times 814 \cos(\theta) = 662,596$$ $$\cos(\theta) = \frac{662,596}{2 \times 842 \times 814}$$ 16. Calculamos el denominador: $$2 \times 842 \times 814 = 1,370,776$$ 17. Calculamos $\cos(\theta)$: $$\cos(\theta) = \frac{662,596}{1,370,776} \approx 0.4835$$ 18. Calculamos $\sin(\theta)$: $$\sin(\theta) = \sqrt{1 - \cos^2(\theta)} = \sqrt{1 - 0.4835^2} = \sqrt{1 - 0.2338} = \sqrt{0.7662} \approx 0.8757$$ 19. Finalmente, calculamos el área: $$Área = a \times b \times \sin(\theta) = 842 \times 814 \times 0.8757 \approx 600,000$$ m² Respuesta final: - Lado más largo: $814$ m - Área del paralelogramo: aproximadamente $600,000$ m²