1. Planteamos el problema: La base de un triángulo se aumenta en un 50% y la altura se disminuye en un tercio. Queremos encontrar la razón entre el área del nuevo triángulo y la del triángulo original. 2. Recordemos la fórmula del área de un triángulo: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{altura}$$ 3. Sea $b$ la base original y $h$ la altura original. Entonces, el área original es: $$A = \frac{1}{2} b h$$ 4. La base nueva es un 50% mayor, es decir: $$b_{nuevo} = b + 0.5b = 1.5b$$ 5. La altura nueva es un tercio menor, es decir: $$h_{nuevo} = h - \frac{1}{3}h = \frac{2}{3}h$$ 6. El área del nuevo triángulo es: $$A_{nuevo} = \frac{1}{2} b_{nuevo} h_{nuevo} = \frac{1}{2} (1.5b) \left(\frac{2}{3}h\right)$$ 7. Simplificamos la expresión: $$A_{nuevo} = \frac{1}{2} \times 1.5b \times \frac{2}{3}h = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2}b \times \frac{2}{3}h$$ 8. Cancelamos factores comunes: $$A_{nuevo} = \frac{\cancel{1}}{\cancel{2}} \times \frac{3}{\cancel{2}}b \times \frac{\cancel{2}}{3}h = \frac{3}{2}b \times \frac{2}{3}h$$ 9. Continuamos simplificando: $$A_{nuevo} = b h$$ 10. La razón entre el área nuevo y el área original es: $$\text{Razón} = \frac{A_{nuevo}}{A} = \frac{b h}{\frac{1}{2} b h} = \frac{b h}{\frac{1}{2} b h}$$ 11. Cancelamos $b h$ en numerador y denominador: $$\text{Razón} = \frac{\cancel{b h}}{\frac{1}{2} \cancel{b h}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2$$ 12. Por lo tanto, el área del nuevo triángulo es el doble del área del triángulo original.