1. Planteamos el problema: Se busca el valor de $k \in \mathbb{R}$ tal que al rotar el punto $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ un ángulo de $\frac{\pi}{4}$ en sentido contrario a las agujas del reloj, la imagen sea $(0, k)$. 2. La fórmula para rotar un punto $(x,y)$ un ángulo $\theta$ en sentido contrario a las agujas del reloj es: $$ x' = x\cos\theta - y\sin\theta $$ $$ y' = x\sin\theta + y\cos\theta $$ 3. Sustituimos $x = -\sqrt{2}$, $y = -\sqrt{2}$ y $\theta = \frac{\pi}{4}$: $$ x' = (-\sqrt{2})\cos\frac{\pi}{4} - (-\sqrt{2})\sin\frac{\pi}{4} $$ $$ y' = (-\sqrt{2})\sin\frac{\pi}{4} + (-\sqrt{2})\cos\frac{\pi}{4} $$ 4. Sabemos que $\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, entonces: $$ x' = (-\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2} - (-\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} $$ 5. Simplificamos cada término: $$ -\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = -\frac{2}{2} = -1 $$ $$ \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{2}{2} = 1 $$ 6. Por lo tanto: $$ x' = -1 + 1 = 0 $$ 7. Ahora calculamos $y'$: $$ y' = (-\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2} + (-\sqrt{2})\frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2}{2} - \frac{2}{2} = -1 -1 = -2 $$ 8. La imagen del punto tras la rotación es $(0, -2)$, por lo que $k = -2$. Respuesta final: $k = -2$.