1. Problema 2: Encontrar el valor de $x$ en la ecuación del ángulo formado por el radio $OT$ y la recta tangente, dado que $8x + 10 = 90$. 2. Usamos la ecuación dada para despejar $x$: $$8x + 10 = 90$$ 3. Restamos 10 a ambos lados: $$8x + \cancel{10} - \cancel{10} = 90 - 10$$ $$8x = 80$$ 4. Dividimos ambos lados entre 8: $$\frac{8x}{\cancel{8}} = \frac{80}{\cancel{8}}$$ $$x = 10$$ --- 5. Problema 3: Plantear la ecuación usando Pitágoras para hallar $x$ en el triángulo rectángulo formado por $P$, $T$ y $O$ con $PT = 47$, $PO = 50$, y radio $OT = 30$. 6. Por el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo $PTO$: $$PO^2 = PT^2 + OT^2$$ 7. Sustituimos los valores: $$50^2 = 47^2 + 30^2$$ $$2500 = 2209 + 900$$ $$2500 = 3109$$ 8. Aquí notamos que $2500 \neq 3109$, por lo que el triángulo no es rectángulo con esos valores. Si $x$ representa alguna variable relacionada, necesitamos más información para plantear la ecuación correcta. Si $x$ es el radio, ya está dado como 30. --- 9. Problema 4: Encontrar $x$ en un triángulo $PQR$ con circunferencia inscrita, donde los segmentos tangentes desde $P$ miden $2x + 4$ y $12$. 10. Propiedad: Los segmentos tangentes desde un mismo punto exterior a una circunferencia son iguales. 11. Por lo tanto: $$2x + 4 = 12$$ 12. Restamos 4 a ambos lados: $$2x + \cancel{4} - \cancel{4} = 12 - 4$$ $$2x = 8$$ 13. Dividimos entre 2: $$\frac{2x}{\cancel{2}} = \frac{8}{\cancel{2}}$$ $$x = 4$$ --- 14. Problema 5: Despejar $x$ en la ecuación del ángulo complementario $2x + 20 = 90$. 15. Restamos 20 a ambos lados: $$2x + \cancel{20} - \cancel{20} = 90 - 20$$ $$2x = 70$$ 16. Dividimos entre 2: $$\frac{2x}{\cancel{2}} = \frac{70}{\cancel{2}}$$ $$x = 35$$ --- Respuestas finales: - Problema 2: $x = 10$ - Problema 3: No se puede plantear ecuación para $x$ con los datos dados sin más información. - Problema 4: $x = 4$ - Problema 5: $x = 35$