1. **Plantear el problema:** Tenemos un triángulo rectángulo $ABC$ con ángulo recto en $C$. Se conoce que $AC=15$, $AB=25$, y $CD=12$ es la altura desde $C$ al hipotenusa $AB$. Se pide resolver el triángulo, es decir, encontrar la longitud de $BC$ y otros elementos necesarios. 2. **Fórmulas y reglas importantes:** En un triángulo rectángulo, el teorema de Pitágoras dice que $$AB^2 = AC^2 + BC^2.$$ Además, la altura $CD$ sobre la hipotenusa cumple la relación $$CD^2 = AD imes DB,$$ donde $D$ es el pie de la altura sobre $AB$. 3. **Calcular $BC$ usando Pitágoras:** $$25^2 = 15^2 + BC^2$$ $$625 = 225 + BC^2$$ $$BC^2 = 625 - 225 = 400$$ $$BC = \sqrt{400} = 20$$ 4. **Calcular segmentos $AD$ y $DB$:** Sabemos que $AB = AD + DB = 25$ y que $$CD^2 = AD imes DB$$ $$12^2 = AD imes DB$$ $$144 = AD imes DB$$ 5. Sea $AD = x$, entonces $DB = 25 - x$. La ecuación es: $$x(25 - x) = 144$$ $$25x - x^2 = 144$$ $$x^2 - 25x + 144 = 0$$ 6. Resolver la cuadrática: $$x = \frac{25 \pm \sqrt{25^2 - 4 \times 1 \times 144}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{625 - 576}}{2} = \frac{25 \pm \sqrt{49}}{2}$$ $$x = \frac{25 \pm 7}{2}$$ 7. Dos soluciones: - $$x = \frac{25 + 7}{2} = 16$$ - $$x = \frac{25 - 7}{2} = 9$$ Por lo tanto, $AD = 16$ y $DB = 9$ o viceversa. **Respuesta final:** - $BC = 20$ - $AD = 16$ - $DB = 9$ El triángulo está completamente resuelto.